Даўжыня крывой

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Даўжынёй крывой у мэтрычнай прасторы (X,\rho) завецца варыяцыя адлюстраваньня, што задае крывую, г.з. даўжыня крывой \gamma:[a,b]\to X ёсьць велічыня роўная:

\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k)),

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разьбіцьцях P адцінка [a,b].

Зьвязаныя азначэньні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Калі даўжыня канцавая, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.

Формулы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Калі крывая клясы C^1 у \R^n, то яе даўжыня роўная:

  • У агульным выпадку \mathbb{R}^n — \int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt.
  • У \mathbb{R}^3 — \int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt.
  • Калі крывая зададзеная ў \mathbb{R}^2 як f(x), то даўжыня роўная \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx.

Глядзіце таксама[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]