Лік

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Лік — адзін з асноўных паняткаў матэматыкі. Ён паходзіць з даўніх часоў і паступова пашыраецца адпаведна таму, як пашыралася сфэра чалавечай дзейнасьці і зьяўляліся новыя праблемы, што патрабавалі колькаснага апісаньня і вывучэньня.

Гісторыя разьвіцьця лікаў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Здагадкі пра першыя лікі зьявіліся ў дагістарычны час, калі чалавеку спатрэбілся лічыць прадметы. Паступова паняцьце «шмат» зрушвалася на «больш за два», «больш за тры», «больш за сем», «больш за сорак» і гэтак далей. Так быў уведзены натуральны шэраг (\mathbb{N}). Выкарыстаньне «эталённага мноства» (каменьчыкі, вузельчыкі і падобныя), пачало фармавацца абстрактнае паняцьце ліка.

У Старажытным Эгіпце выкарыстоўваліся простыя (аліквотныя) дробы, то бок дробы выгляду \frac{1}{n}. Значна больш дробы, як і увогуле матэматычныя веды, былі разьвітыя ў Старажытным Міжрэччы. У Грэцыі лікам быў «збор адзінак», то бок толькі натуральны лік. Грэкі ведалі дробы і ўмелі апераваць зь імі, але не адносілі cтасункі да лікаў. У 3 стагодзьдзі нашай эры Дыяфант упершыню пачынае разглядаць адмоўныя лікі, але пакуль толькі як дапаможную прыладу. У прыватнасьці, калі падчас разьвязаньня раўнаньняў ён атрымоўвае дадатныя і адмоўныя адказы, вынікам ён пакідае толькі дадатны лік. У яго працах дробы ўжо таксама адносяцца да лікаў, і нават зьяўляецца паняцьце пра ірацыянальныя лікі.

Толькі ў 16 стагодзьдзі Сыман Стывэн уключае ірацыянальныя лікі ў шэраг лікаў. З асьцярожнасьцю ён адносіць туды і адмоўныя лікі, але па-ранейшаму называе адмоўныя карані альгебраічнага раўнаньня «фіктыўнымі». Геамэтрычную трактоўку адмоўным лікам даюць Жырар і Дэкарт. Канцэпцыя адзінага паняцьця рэчаіснага ліка цалкам перамагла толькі ў 17 стагодзьдзі ў працах Валіса і Ньютана. Тады ж ірацыянальныя лікі пачынаюць дзяліць на альгебраічныя і трансцэндэнтныя.

Першае згадваньне уяўных лікаў сустракаецца у Карданы ў сэрадзіне 16 стагодзьдзя. Некалькі гадоў пазьней Рафаэль Бамбэлі пачынае разьвіваць тэорыю уяўных лікаў. У 17 стагодзьдзі ўжо шматлікія матэматыкі разумеюць карыснасьць уяўных лікаў, але ставяцца да іх толькі як да прылады, як раней да адмоўных.

Тэорыя адмоўных лікаў не задавальняла матэматыкаў, і у 18 стагодзьдзі працягваюцца спробы ўвесьці і абгрунтаваць аперацыі зь імі, але стварыць лягічна завершаную тэорыю не атрымалася ні ў аднаго навукоўца. Першыя тэорыі адмоўных лікаў былі распрацаваныя ў другой трэці 19 стагодзьдзі Гамільтанам і Грамсанам.

Уяўныя лікі \mathbb{C}, якія выкарыстоўваліся матэматыкамі як нейкая зручная прылада, былі складаныя для зразуменьня, таму што ня мелі геамэтрычай інтэрпрэтацыі. Поўнае геамэтрычнае вытлумачэньне прывёў Каспар Вэсэль у канцы 18 стагодзьдзя. Нажаль, гэтая праца стала вядомай толькі ў канцы 19 стагодзьдзі, калі была перакладзена на французскую мову. Для прыняцьця ўяўнага ліка асноўную ролю згуляў Гаўс у пачатку 19 стагодзьдзя.

У 1853 Гамільтан пашырае паняцьце ліка да кватэрніонаў \mathbb{H}, адмовіўшыся ад камутатыўнасьці, а неўзабаве Грэйўс, Кэлі і Кіркман даюць новае абагульненьне — актаніёны (актавы) \mathbb{O}, якія не валодаюць яшчэ і уласьцівасьцю асацыятыўнасьці.

Такім чынам, мноствы лікаў суадносяцца наступным чынам:

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\mathbb{H}\sub\mathbb{O}

Мноства лікаў як пашырэньня[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Натуральны шэраг \mathbb{N} і асноўныя аперацыі складаньне, адыманьне, множаньне і дзяленьне вядомы з старажытных часоў. Іх можна разглядваць ў аксыёматыцы Пеаны. На натуральных ліках карэктна зададзеныя толькі аперацыі складаньня і множаньня.

Пашырэньне натуральнага шэрага па аперацыі адыманьня дае шэраг цэлых лікаў \mathbb{Z}. Пашырэньне яго па аперацыі дзяленьня дае мноства рацыянальных лікаў \mathbb{Q}.

Цяпер усе аперацыі (за выключэньнем дзяленьня на нуль) зададзеныя карэкнта. Але на рацыянальных ліках не здзяйсняльны пераход да ліміта. Замыканьне мноства \mathbb{Q} дае шэраг \mathbb{R} рэчаісных лікаў.

Альгебраічнае замыканьне \mathbb{R}, то бок дадаваньне мноства караней паліномаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, дае камплексную плоскасьць \mathbb{C}. Далей пашырэньне да гіпэркамплексных лікаў дае мноства кватэрніёнаў \mathbb{H}, на якім адсутнічае камутатыўнасьць, а потым мноства актавіёнаў (актаў, альгебру Кэлі) \mathbb{O}, на якім адсутнічае асацыятыўнасьць. Наступнае пашырэньне магчыма толькі з стратай дыстрыбутыўнасьці і ня мае практычнага сэнсу.

Прадстаўленьне лічбаў у памяці кампутара[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Для прадстаўленьня натуральнай лічбы ў памяці кампутара, яно звычайна пераводзіцца ў двайковую сыстэму зьлічэньня. Для ўяўленьня адмоўных лічбаў выкарыстоўваецца г. зв. дадатковы код лічбы, які атрымліваецца шляхам даданьня адзінкі да інвэртаванага прадстаўленьня модуля дадзенай адмоўнай лічбы ў двайковай сыстэме зьлічэньня.

Прадстаўленьне сапраўдных лічбаў у памяці кампутара мае некаторыя абмежаваньні зьвязаныя з сыстэмай зьлічэньня, якая выкарыстоўваецца, а таксама абмежаванасьцю аб’ёму памяці, якая выдзяляецца пад лічбы. Сапраўдныя лічбы звычайна прадстаўляюцца ў выглядзе лічбай з плавальнай коскай. пры гэтым толькі некаторые з сапраўдных лічбаў могуць быць прадстаўленыя ў памяці кампутара дакладным значэньнем, у той час як астатнія лічбы прадстаўляюцца набліжанымі значэньнямі. У найбольш распаўсюджаным фармаце лічба з плавальнай коскай прадстаўляецца ў выглядзе пасьлядоўнасьці бітаў, частка зь якіх кадыруе сабой мантысу лічбы, іншая частка — паказальнік ступені, і яшчэ адзін біт выкарыстоўваецца для пазначэньня знака лічбы.

Глядзіце таксама[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Літаратура[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • История математики с древнейших времён до начала XIX века под редакцией А. П. Юшкевича
  • Дж. Стиллвелл, Математика и её история

Вонкавыя спасылкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Commons-logo.svg  Ліксховішча мультымэдыйных матэрыялаў