Мера Жардана

Мера Жардана — адзін з спосабаў фармалізацыі паняцьця даўжыні, плошчы і n-мернага аб'ёма ў n-мернай эўклідавай прасторы.

Пабудова

Мноства вымерна па Жардану калі ўнутраная мера Жардана роўная вонкавай меры Жардана

Мера Жардана $\ m\Delta$ паралелепіпэда $\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$ у $\mathbb R^n$ вызначаецца як вытворная $m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).$ Для абмежаванага мноства $E\subset \mathbb R^n$ вызначаюцца: вонкавая мера Жардана

$m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k, \cup_k\Delta_k\supset E$

і ўнутраная мера Жардана

$m_iE=\sup\sum_{k=1}^Nm\Delta_k, \cup_k\Delta_k\subset E, \Delta_k\cap\Delta_m$ калі $k\not=m,$

тут $\Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_N$ — паралелепіпэды апісанага вышэй выгляду.

Мноства $\ E$ завецца вымерным па Жардану (квадруемым пры $\ n = 2$, кубуемым пры $\ n\ge3$), калі $\ m_eE=m_iE$. У гэтым выпадку мера Жардана роўная $\ mE=m_eE=m_iE$.

Уласьцівасьці

• Мера Жардана інварыянтная адносна рухаў эўклідавай прасторы.
• Абмежаванае мноства $E\subset\mathbb R^n$ вымерна па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае меру Жардана нуль (або, што раўнасільна, калі яго мяжа мае меру Лебэга нуль).
• Вонкавая мера Жардана адна і тая жа для $E$ і $\bar E$ (замыканьні мноства $E$) і роўная меры Барэля $\bar E$.
• Вымерныя па Жардану мноствы ўтвораць кольца мностваў, на якім мера Жардана вядома адытыўная функцыя.

Гісторыя

Прыведзенае паняцьце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пасьля паняцьце было абагульненае Лебэгам на шырэйшы кляс мностваў.

Літаратура

• Реanо G., Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino, 1887;
• Jordan C, «J. math, puresetappl.», 1892, t. 8, p. 69—99;