Натуральны лік

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
Натуральныя лікі можна выкарыстоўваць пры лічэньні (адзін яблык, два яблыка, тры яблыка, ...).

Натуральныя лікі - гэта элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4...}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.

У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г.зв. "пашыраны натуральны шэраг" {0, 1, 2, 3, 4...}.

Гісторыя[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік “два” зьвязваўся з ворганамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. ”Вочы” ў індыйцаў, “Крылы” ў тыбэтцаў азначалі таксама “два”. З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць "эталённыя мноствы" - зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі - узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.

Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў III стагодзьдзі да н. э. Архімэд у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. Эўклід яшчэ ў III стагодзьдзі да н. э. вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” грэцкага матэматыка (нэапітагарэйца) Нікамах з Геразы, які жыў каля 100 г. н. э. Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на латцінскую мову рымскім аўтарам Баэцыем (480524), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных рукапісах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў францускага філёзафа і матэматыка Ж. д’Алямбэра (17171783).

З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.

У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.

Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэана[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства \mathbb{N}, у якім для нейкіх элемэнтаў a і b існуе адносіна "b накіроўваецца за a (пазначаецца як a') і задавальняе наступным аксіёмам, якія атрымалі назву аксіёмаў Пэана:

  1. існуе 1, якое не накіроўваецца ні за ніводным элемэнтам,
  2. для любога a існуе a', якое накіроўваецца за ім, прычым толькі адно,
  3. любы элемэнт накіроўваецца ня больш чым за адным элемэнтам,
  4. любое мноства \mathbb{M} з уласьцівасьцямі
    • 1 прыналежыць \mathbb{M},
    • калі a прыналежыць \mathbb{M}, то і a' прыналежыць \mathbb{M}

- супадае з \mathbb{N} (аксіёма індукцыі)

На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.

Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

  1. a+1=a'
  2. a+b'=(a+b)'

Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

  1. a\times 1=a
  2. a\times b'=a\times b+a

Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Пашыраны натуральны шэраг можна ўвесьці як магутнасьць канечнага мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут азначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:

  • 0 = { }
  • 1 = {0} = {{ }}
  • 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
  • 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
  • n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}

Уласьцівасьці[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).

Літаратура[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
  • История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть І.
  • Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе.
  • Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?