Пераўтварэньне Фур’е

Пераўтварэньне Фур'е — аналяг пасьлядоўнасьці каэфіцыентаў Фур'е. Тэрмін атрымаў імя францускага матэматыка Жазэфа Фур'е. Пераўтварэньнем Фур'е функцыі f называецца функцыя

$g(u) = \mathcal{F}[f](u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{iut}\,dt.$

У некаторых выпадках праўдзіцца формула

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty g(u) e^{-iux}\,du$

— аналяг шэрагу Фур'е. Апошні інтэграл называецца адваротным пераўтварэньнем Фур'е функцыі g і абазначаецца F^-1[g]. Некаторыя апэрацыі з функцыямі пераходзяць пры пераўтварэньні Фур'е ў адпаведныя апэрацыі над іх вобразамі. Напрыклад, калі функцыя f ёсьць згортка функцый f₁ і f₂, гэта значыць:

$f(x) = (f_{1} * f_{2})(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f_{1}(x-s)f_{2}(s)\,ds,$

то $F[f] = F[f_{1} * f_{2}] = F[f_{1}] F[f_{2}].$

Пераўтварэньне Фур'е шырока ўжываецца ў пэўных разьдзелах матэматыкі і тэарэтычнай фізыкі.