Роўніца

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Ро́ўніца[1][2][3] (пло́скасьць) — адно з асноўных паняцьцяў геамэтрыі.

Роўніца — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе простыя лініі, што праходзяць празь якія-небудзь два пункты роўніцы.

У альгебры роўніца вызначаецца як двухмерная афінная прастора. У плянімэтрыі роўніца разглядаецца як унівэрсуюм, да якога належаць усе геамэтрычныя фігуры. Стэрэамэтрыя разглядае бясконцае мноства роўніцаў, што належаць да прасторы.

Раўнаньні роўніцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Роўніца — альгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сыстэме каардынат роўніцу можна задаць раўнаньнем першай ступені.

  • Агульнае раўнаньне (поўнае) роўніцы
Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

дзе A,B,C і D — канстанты, прычым A,B і C адначасова ня роўныя нулю; у вэктарнай форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

дзе \mathbf{r} — радыюс-вэктар пункту M(x,y,z), вэктар \mathbf{N}=(A,B,C) пэрпэндыкулярны да роўніцы (нармальны вэктар). Накіравальныя косінусы вэктары \mathbf{N}:

\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Калі адзін з каэфіцыентаў у раўнаньні роўніцы — нуль, раўнаньне завецца няпоўным. Пры D=0 роўніца праходзіць праз пачатак каардынат, пры A=0 (або B=0, C=0) роўніца паралельная восі Ox (адпаведна Oy або Oz). Пры A=B=0 (A=C=0, або B=C=0) роўніца паралельная роўніцы Oxy (адпаведна Oxz або Oyz).

\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

дзе a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C — адцінкі, якія роўніца адсякае на восях Ox, Oy і Oz.

  • Раўнаньне роўніцы, якая праходзіць праз пункт M(x_0,y_0,z_0) пэрпэндыкулярна вэктару нармалі \mathbf{N}(A,B,C):
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;

у вэктарнай форме:

((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.
  • Раўнаньне роўніцы, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты M(x_i,y_i,z_i), што не ляжаць на адной простай:
((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0

(зьмяшаны здабытак вектараў), інакш

\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.
  • Нармальнае (нармаванае) раўнаньне роўніцы
x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)

у вэктарнай форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,

дзе \mathbf{N^0} — адзінкавы вэктар, p — адлегласьць роўніцы ад пачатку каардынат. Раўнаньне (2) можна атрымаць з раўнаньня (1) множаньнем на нармоўны множнік

\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(знакі \mu і D супрацьлеглыя).

Крыніцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ Тэрміналагічны слоўнік па вышэйшай матэматыцы для ВНУ / Т. Сухая, Р. Еўдакімава, В. Траццякевіч, Н. Гудзень. — Мн.: Навука і тэхніка, 1993. С. 55, 152
  2. ^ Роўніца // Беларуска-расійскі слоўнік / Укладальнікі: М. Байкоў, С. Некрашэвіч. — Менск: Дзяржаўнае выдавецтва Беларусі, 1925. Факсімільнае выданьне: Менск: Народная асвета, 1993. ISBN 5-341-00918-5
  3. ^ Руска-беларускі фізічны слоўнік / Уклад. Самайлюковіч У., Пазняк У., Сабалеўскі А. — Мн.: Навука і тэхніка, 1994. С. 158

Літаратура[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.