Сярэдняе геамэтрычнае

Сярэдняе геамэтрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іхні здабытак не зьмяніўся. У матэматычным выражэньні:

$G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}$

Сярэдняе геамэтрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыйным.

Уласьцівасьці

• Так сама, як і любое іншае сярэдняе значэньне, сярэдняе геамэтрычнае ляжыць паміж мінімумам і максымумам з усіх лікаў:

$\operatorname{min}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant G(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant \operatorname{max}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

• Сярэдняе геамэтрычнае двух лікаў $a=A_0, b=G_0$ зьяўляецца сярэднім арытмэтычным-гарманічным гэтых лікаў, то бок роўнае ліміту дзьвюх пасьлядоўнасьцяў:

$A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},\quad G_i=\sqrt{A_{i-1}G_{i-1}}$

Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае

Асноўны артыкул: Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае

Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў $x_1, \ldots, x_n$ з рэчаіснымі вагамі $w_1, \ldots, w_n$ вызначаецца як?

$\bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)$

У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя міжсобку, сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае роўнае сярэднему геамэтрычнаму.

У геамэтрыі

Вышыня прастакутнага трыкутніку, апушчаная на гіпатэнузу, ёсьць сярэдняе прапарцыйнальнае між праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсьць сярэдняе прапарцыйнае між гіпатэнузай і ягонай праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геамэтрычны спосаб пабудовы сярэдняга геамэтрычнага двух адцінкаў: патрэбна пабудаваць акружыну на суме гэтых двух адцінкаў як на дыямэтры, тады вышыня, праведзеная з кропкі іх злучэньня да перасячэньня з акружынаю, дасьць неабходную велічыну.

На малюнку $BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}$:

Абагульненьні

• Сярэдняе геамэтрычнае можна разглядаць як ліміт сярэдніх ступеневых $A_g(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt[g]\frac{x_1^g+\ldots+x_n^g}{n}$ пры $g\to 0$.
• Сярэдняе геамэтрычнае зьяўляецца сярэднім Калмагорава пры $\phi(x)=\log x$

Глядзіце таксама

• Сярэдняе значэньне
• Сярэдняе арытмэтычнае
• Сярэдняе арытмэтычна-геамэтрычнае
• Сярэдняе гарманічнае
• Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае
• Сярэдняе геронавае
• Сярэдняе квадратовае
• Сярэднія піфагарэйскія
• Сярэдняе ступеневае
• Няроўнасьць між сярэднім арытмэтычным і сярэднім геамэтрычным