Сярэдняе геамэтрычнае

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Сярэдняе геамэтрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іхні здабытак не зьмяніўся. У матэматычным выражэньні:

G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}

Сярэдняе геамэтрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыйным[1].

Уласьцівасьці[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Так сама, як і любое іншае сярэдняе значэньне, сярэдняе геамэтрычнае ляжыць паміж мінімумам і максымумам з усіх лікаў:
\operatorname{min}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant G(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant \operatorname{max}(x_1, x_2, \ldots, x_n)
  • Сярэдняе геамэтрычнае двух лікаў a=A_0, b=G_0 зьяўляецца сярэднім арытмэтычным-гарманічным гэтых лікаў, то бок роўнае ліміту дзьвюх пасьлядоўнасьцяў:
A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},\quad G_i=\sqrt{A_{i-1}G_{i-1}}

Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Асноўны артыкул: Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае

Сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў x_1, \ldots, x_n з рэчаіснымі вагамі w_1, \ldots, w_n вызначаецца як?

 \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)

У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя міжсобку, сярэдняе геамэтрычнае ўзважанае роўнае сярэднему геамэтрычнаму.

У геамэтрыі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Вышыня прастакутнага трыкутніку, апушчаная на гіпатэнузу, ёсьць сярэдняе прапарцыйнальнае між праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсьць сярэдняе прапарцыйнае між гіпатэнузай і ягонай праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геамэтрычны спосаб пабудовы сярэдняга геамэтрычнага двух адцінкаў: патрэбна пабудаваць акружыну на суме гэтых двух адцінкаў як на дыямэтры, тады вышыня, праведзеная з кропкі іх злучэньня да перасячэньня з акружынаю, дасьць неабходную велічыну.

На малюнку BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}: Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

Абагульненьні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Глядзіце таксама[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Крыніцы і заўвагі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]