Трыганамэтрыя

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.

	Гэты артыкул патрабуе ўдакладненьня артаграфіі. Вы можаце дапамагчы Вікіпэдыі, адрэдагаваўшы яго. (дапамога)

Трыганамэ́трыя — падзел матэматыкі пра суадносіны бакоў і кутоў у трохкутніке. Слова штучна складзена з грэцкіх "трыганон" — трохкутнік і "мятрэзіс" — вымярэньне. Асноўная задача трыганамэтрыі — "рашэньне трохкутніка", т.б. вылічэньне невядомых велічынь па вядомым.

Зьмест

1 Гісторыя
2 Ужываньне
3 Трыганамэтрычныя функцыі
4 Зваротныя трыганамэтрычныя функцыі
5 Асноўныя трыганамэтрычныя тоеснасьці
6 Трыганамэтрычныя функцыі камплекснай зьменнай
7 Глядзіце таксама
8 Літаратура
9 Вонкавыя спасылкі

[рэдагаваць] Гісторыя

Вытокі трыганамэтрыі бяруць пачатак у старажытным Эгіпце, Бабілёніі і даліне Інда больш 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжываньні альгебры і трыганамэтрыі да астранамічных вылічэньняў. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёньня матэматык, які карыстаўся геамэтрыю і трыганамэтрыю ў сваёй кнізе «Джьетыша-вэданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшая частка прац якога была зьнішчаная замежнымі захопнікамі.

Грэцкі матэматык Клаўдзій Пталямей таксама ўнёс вялікі ўклад у разьвіцьцё трыганамэтрыі.

[рэдагаваць] Ужываньне

Трыганамэтрычныя вылічэньні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласьцях геамэтрыі, фізыкі й інжынэрыі.

Вялікае значэньне мае тэхніка трыянгуляцыі, якая дазваляе вымяраць адлегласьці да недалёкіх зорак у астраноміі, паміж арыенцірамі ў геаграфіі, кантраляваць сыстэмы навігацыі спадарожнікаў. Таксама варта адзначыць ужываньне трыганамэтрыі ў такіх абласьцях, як тэхніка навігацыі, тэорыя музыкі, акустыка, оптыка, аналіз фінансавых рынкаў, электроніка, тэорыя верагоднасьцяў, статыстыка, біялёгія, мэдыцына (уключаючы ультрагукавое дасьледаваньне (УГД) і кампутарную тамаграфію), фармацэўтыка, хімія, тэорыя лікаў (і, як сьледзтва, крыптаграфія), сэйсмалёгія, мэтэаралёгія, акiяналёгiя, картаграфія, шматлікія падзелы фізыкі, тапаграфія й геадэзія, архітэктура, фанэтыка, эканоміка, электронная тэхніка, машынабудаваньне, кампутарная графіка, крышталаграфія.

[рэдагаваць] Трыганамэтрычныя функцыі

Асноўны артыкул: Уласьцівасьці трыганамэтрычных функцыяў

Адзінкавая акружнасьць

Возьмем адзінкавую акружнасьць на плоскасьці (цэнтар у пачатку адліку, радыюс 1). Правядзем прамень $l$ з пачатка адліку і будзем адлічваць велічыню кута $α$ ад дадатнага праменя восі $O x$ супраць гадзіньнікавай стрэлкі. Велічыню можна лічыць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядваць у градусах. Няхай пунктам скрыжаваньня $l$ з адзінкавай акружнасьцю будзе $M$ . Тады па азначэньні:

функцыя косынус $c o s (α)$ будзе абсцысай $M$ ,
функцыя сынус $s i n (α)$ будзе ардынатай $M$
функцыя тангенс $t g (α)$ будзе дзельлю ардынаты $M$ і яе абсцысы: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$
функцыя катангенс $c t g (α)$ будзе дзельлю абсцысы $M$ і яе ардынаты: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$
функцыя сэканс $s e c (α)$ будзе дзельлю $\frac{1}{sin(\alpha)}$
функцыя касэканс $c o s e c (α)$ будзе дзельлю $\frac{1}{cos(\alpha)}$

Графік функцыі y = sin(x)

Графік функцыі y = cos(x)

Функцыі $s i n (α)$ і $c o s (α)$ вызначаныя на ўсём $\mathbb{R}$ , вобласьць значэньняў [-1,1] і пэрыяд $2π$ . Функцыя $t g (α)$ ня вызначана на $π * n$ , $n\in\mathbb{Z}$ , а функцыя $c t g (α)$ ня вызначана на $π * n + π / 2$ , $n\in\mathbb{Z}$ , і абедзьве маюць вобласьць значэньняў $\mathbb{R}$ і пэрыяд $π$ .

[рэдагаваць] Зваротныя трыганамэтрычныя функцыі

Функцыя, зваротная да

$s i n (α)$ завецца арксынус $a r c s i n (α)$
$c o s (α)$ завецца арккосынус $a r c c o s (α)$
$t g (α)$ завецца арктангенс $a r c t g (α)$
$c t g (α)$ завецца агккатангенс $a r c c t g (α)$

[рэдагаваць] Асноўныя трыганамэтрычныя тоеснасьці

Асноўны артыкул: Трыганамэтрычныя формулы

Асноўная трыганамэтрычная тоеснасьць $s i n 2 (α) + c o s 2 (α) = 1$ .

Формула косынуса сумы: $c o s (α + β) = c o s (α) c o s (β) - s i n (α) s i n (β)$

Формула косынуса рознасьці: $c o s (α - β) = c o s (α) c o s (β) + s i n (α) s i n (β)$

Формула сынуса сумы: $s i n (α + β) = s i n (α) c o s (β) + s i n (β) c o s (α)$

Формула сынуса рознасьці: $s i n (α - β) = s i n (α) c o s (β) - s i n (β) c o s (α)$

[рэдагаваць] Трыганамэтрычныя функцыі камплекснай зьменнай

y = sin(x) на камплекснай плоскасьці

Разкладзем функцыі $s i n (x)$ і $c o s (x)$ ў рад Тэйлара:

$sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -...+ (-1)^k\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}$

$cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -...+ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$

- і вызначым трыганамэтрычныя функцыі камплекснай зьменнай $z$ :

$sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} -...+ (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!}$

$cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} -...+ (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}$

Большасьць уласьцівасьцей гэтых функцыяў для рэчаіснай зьменнай распаўсюджваецца і на камплексную зьменную. Але на камплекснай плоскасьці іх вобласьць значэньняў - усё $\mathbb{C}$ .

[рэдагаваць] Глядзіце таксама

[рэдагаваць] Літаратура

Я.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»

[рэдагаваць] Вонкавыя спасылкі

Трыганамэтрыя — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў

Трыганамэтрыя

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.

Зьмест

[рэдагаваць] Гісторыя

[рэдагаваць] Ужываньне

[рэдагаваць] Трыганамэтрычныя функцыі

[рэдагаваць] Зваротныя трыганамэтрычныя функцыі

[рэдагаваць] Асноўныя трыганамэтрычныя тоеснасьці

[рэдагаваць] Трыганамэтрычныя функцыі камплекснай зьменнай

[рэдагаваць] Глядзіце таксама

[рэдагаваць] Літаратура

[рэдагаваць] Вонкавыя спасылкі

Прагляды

Асабістыя прылады

Навігацыя

Пошук

Інструмэнты

На іншых мовах