Тэарэма Менелая

Тэарэма Мэнэлая — гэта клясычная тэарэма афіннай геамэтрыі.

Тэарэма Мэнэлая

Тэарэма Мэнэлая

Калі пункты $D, E$ і $F$ ляжаць адпаведна на прамых $BC,CA$ і $AB$ трохкутніка $\triangle ABC$, то яны калінэарныя, тады і только тады калі

$\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=-1.$

Тут $\frac{AE}{EC}$, $\frac{CD}{DB}$ і $\frac{BF}{FA}$ азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасьці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

$\frac{|AE|}{|EC|}\cdot\frac{|CD|}{|DB|}\cdot\frac{|BF|}{|FA|}=1.$

Гісторыя

Падобны вынік у сфэрычнай геамэтрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Мэнэлая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналягічны вынік на плоскасьці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой DF. Трохкутнікі $\triangle AFE$ і $\triangle CKE$ падобныя (па двум вуглам), таму

${|AF| \over |CK|} = {|EA| \over |EC|}$

і, значыць —

$|CK| = {|AF| \cdot |EC| \over |EA|}$.

З другога боку, падобнымі зьяўляюцца таксама і трохкутнікі $\triangle BFD$ і $\triangle CKD$, таму

${|FB| \over |CK|} = {|BD| \over |DC|}$

і, такім чынам —

$|CK| = {|FB| \cdot |DC| \over |BD|}$.

Але ў такім выпадку

${|AF|\cdot |EC| \over |EA|} = {|FB| \cdot |DC| \over |BD|}$

або

${|AF| \over |FB|} \cdot {|BD| \over |DC|} \cdot {|CE| \over |EA|} = 1$.

Магчымыя два разьмяшчэньні пунктаў $D, E$ і $F$, альбо два зь іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэньні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэньнях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

$\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=-1.$

Вонкавыя спасылкі

 Тэарэма Менелая — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў