Мера Жардана

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Мера Жардана — адзін з спосабаў фармалізацыі паняцьця даўжыні, плошчы і n-мернага аб'ёма ў n-мернай эўклідавай прасторы.

Пабудова[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Мноства вымерна па Жардану калі ўнутраная мера Жардана роўная вонкавай меры Жардана

Мера Жардана \ m\Delta паралелепіпэда \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i] у \mathbb R^n вызначаецца як вытворная m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i). Для абмежаванага мноства E\subset \mathbb R^n вызначаюцца: вонкавая мера Жардана

m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k, \cup_k\Delta_k\supset E

і ўнутраная мера Жардана

m_iE=\sup\sum_{k=1}^Nm\Delta_k, \cup_k\Delta_k\subset E, \Delta_k\cap\Delta_m калі k\not=m,

тут \Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_N — паралелепіпэды апісанага вышэй выгляду.

Мноства \ E завецца вымерным па Жардану (квадруемым пры \ n = 2, кубуемым пры \ n\ge3), калі \ m_eE=m_iE. У гэтым выпадку мера Жардана роўная \ mE=m_eE=m_iE.

Уласьцівасьці[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Мера Жардана інварыянтная адносна рухаў эўклідавай прасторы.
  • Абмежаванае мноства E\subset\mathbb R^n вымерна па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае меру Жардана нуль (або, што раўнасільна, калі яго мяжа мае меру Лебэга нуль).
  • Вонкавая мера Жардана адна і тая жа для E і \bar E (замыканьні мноства E) і роўная меры Барэля \bar E.
  • Вымерныя па Жардану мноствы ўтвораць кольца мностваў, на якім мера Жардана вядома адытыўная функцыя.

Гісторыя[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Прыведзенае паняцьце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пасьля паняцьце было абагульненае Лебэгам на шырэйшы кляс мностваў.

Літаратура[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Реanо G., Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Torino, 1887;
  • Jordan C, «J. math, puresetappl.», 1892, t. 8, p. 69—99;