Тэарэма Менелая

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Тэарэма Мэнэлая — гэта клясычная тэарэма афіннай геамэтрыі.

Тэарэма Мэнэлая
Тэарэма Мэнэлая

Калі пункты D, E і F ляжаць адпаведна на прамых BC,CA і AB трохкутніка \triangle ABC, то яны калінэарныя, тады і только тады калі

\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=-1.

Тут \frac{AE}{EC}, \frac{CD}{DB} і \frac{BF}{FA} азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасьці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

\frac{|AE|}{|EC|}\cdot\frac{|CD|}{|DB|}\cdot\frac{|BF|}{|FA|}=1.

Гісторыя[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Падобны вынік у сфэрычнай геамэтрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Мэнэлая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналягічны вынік на плоскасьці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой DF. Трохкутнікі \triangle AFE і \triangle CKE падобныя (па двум вуглам), таму

{|AF| \over |CK|} = {|EA| \over |EC|}

і, значыць —

|CK| = {|AF| \cdot |EC| \over |EA|}.

З другога боку, падобнымі зьяўляюцца таксама і трохкутнікі \triangle BFD і \triangle CKD, таму

{|FB| \over |CK|} = {|BD| \over |DC|}

і, такім чынам —

|CK| = {|FB| \cdot |DC| \over |BD|}.

Але ў такім выпадку

{|AF|\cdot |EC| \over |EA|} = {|FB| \cdot |DC| \over |BD|}

або

{|AF| \over |FB|} \cdot {|BD| \over |DC|} \cdot {|CE| \over |EA|} = 1.

Магчымыя два разьмяшчэньні пунктаў D, E і F, альбо два зь іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэньні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэньнях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=-1.

Вонкавыя спасылкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Commons-logo.svg  Тэарэма Менелаясховішча мультымэдыйных матэрыялаў