Уласныя лікі, вэктары й прасторы

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
Мал. 1. У гэтым пераўтварэньні Моны Лізы выява была дэфармаваная такім чынам, што яе вертыкальная вось не зьмянілася. (Заўвага: куты другой выявы абрэзаныя.) Блакітны вэктар зьмяніў напрамак, але ж чырвоны застаўся нязьменным. Чырвоны вэктар і ёсьць уласным вэктарам пераўтварэння (у адрозьненьне ад блакітнага. З прычыны таго, что чырвоны вэктар не расьцягнуўся і ня сьціснуўся, яго ўласны лік ёсьць 1. Адначасова ўсе вэктары, накіраваныя ўздоўж тое самае вертыкальнае рысы, што й чырвоны, таксама ёсьць уласнымі вэктарамі (з тым жа ўласным лікам). Яны ўтвараюць уласную прастору гэтага ўласнага ліку.

У матэматыцы ўласным вэктарам (eigenvector) пераўтварэньня[1] ёсьць ненулявы вэктар, напрамак якога не зьмяняецца паводле пераўтварэньня. Каэфіцыент расьцягненьня вэктару ёсьць яго ўласным лікам (гл. прыклад на малюнку 1). Вельмі часта пераўтварэньне цалкам апісваецца яго ўласнымі лікамі й вэктарамі. Уласная простора ёсьць мноствам уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі.

Упершыню ў гэтым сэнсе слова ўласны было выкарыстана нямецкім матэматыкам Гільбертам у 1904 годзе. Нямецкае слова "eigen" можна перакласьці як "уласны", "індывідуальны".

Азначэньні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Пераўтварэньні прасторы (накшталт зруху, павароту, адлюстраваньня, расьцягненьня, сьцісканьня і іншых) могуць быць апісаныя тым, як яны ўзьдзейнічаюць на вэктары.

  • Уласныя вэктары пераўтварэньняў ёсьць вэктарамі[2], якія пасьля пераўтварэньня не зьмяніліся ці модуль якіх памножыўся на каэфіцыент расьцягненьня.
  • Уласны лік уласнага вэктару ёсьць яго каэфіцыентам расьцягненьня.
  • Уласная прастора ёсьць прастора, якая складаецца з усіх уласных вэктараў з аднолькавымі ўласнымі лікамі разам з нуль-вэктарам, які сам ня ёсьць уласным вэктарам.

Раўнаньне ўласнага ліку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Ненулявы вэктар \vec {v_\lambda} ёсьць уласным вэктарам, а \lambda – уласным лікам пераўтварэньня T калі праўдзівае раўнаньне:

T(\vec {v_\lambda})=\lambda\, \vec {v_\lambda},

дзе T(\vec {v_\lambda}) – вэктар, які ёсьць рэзультатам пераўтварэньня T над вэктарам \vec {v_\lambda}.

Няхай T ёсьць лінейным пераўтварэньнем (а, значыць, раўнаньне T(a{\vec v}+b{\vec w})=aT({\vec v})+bT({\vec w}) праўдзівае для любых скаляраў a, b ды вэктараў \vec v і \vec w). Вылучым базіс у гэтай вэктарнай прасторы. Тады T і \vec {v_\lambda} могуць быць запісаныя адносна базіса ў выглядзе матрыцы A_T і вэртыкальнага вэктара \vec {v_\lambda}. Раўнаньне ўласнага ліку можа быць запісаным наступным чынам:

A_T\, \vec {v_\lambda}=\lambda\, \vec {v_\lambda}


Заўвагі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ У дадзеным выпадку разглядаюцца толькі лінейныя пераўтварэньні з вэктарнае прасторы ў гэтую ж самую вэктарную прастору.
  2. ^ З прычыны таго, што ўсе лінейныя пераўтварэньні пакідаюць нуль-вэктар нязьменным, ён ня лічыцца ўласным вэктарам.