Градыент

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
На гэтых малюнках скалярныя палі паказаныя чорным і белым колерамі, чорны колер адпавядае больш высокім значэньням. Градыент, што адпавядае гэтым палям адлюстраваны сінімі срэлкамі.

Градые́нт — характарыстыка, якая паказвае кірунак найхутчэйшага ўзрастаньня нейкай велічыні, значэньне якой зьмяняецца ад аднаго пункту прасторы да другога. Напрыклад, калі ўзяць вышыню паверхні Зямлі над узроўнем мора (2-мерная прастора), то яе градыент у кожным пункце паверхні будзе накіраваны «ў горку».

Для выпадку трохмернай прасторы, градыентам называюць вэктарную функцыю з кампанэнтамі \frac {\partial \varphi} {\partial x}, \frac {\partial \varphi} {\partial y}, \frac {\partial \varphi} {\partial z}, дзе \varphi — некаторая скалярная функцыя каардынат x, y, z.

Калі \varphi — функцыя n зьменных x_1,\;\ldots,\;x_n, то яе градыентам называюць n-мерны вэктар

\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),

кампанэнты якога роўныя частковым вытворным \varphi па ўсіх яе аргумэнтах.

Градыент абазначаюць \mathrm{grad}\,\varphi альбо з выкарыстаньнем апэратару набла, \nabla \varphi.

З азначэньня градыенту выцякае, што:

\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.

Сэнс градыенту адвольнай скалярнай функцыі f у тым, што яго скалярны здабытак з бясконца малым вэктарам перамяшчэньня d\mathbf{x} дае поўны дыфэрэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным зьмяненьні каардынат у прасторы, на якім вызначана f, гэта значыць лінейную частку зьмяненьня f пры зруху на d\mathbf{x}. Калі скарыстаць адну і тую ж літару для абазначэньня функцыі ад вэктару і функцыі ад яго каардынат, можна запісаць:

df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 
+ \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).

Варта заўважыць, што паколькі формула поўнага дыфэрэнцыялу не залежыць ад віду каардынат x_i, гэта значыць ад прыроды парамэтраў x увогуле, то атрыманы дэфэрэнцыял зьяўляецца інварыянтам, гэта значыць скалярма, пры адвольных праўтварэньнях каардынат, а паколькі d\mathbf{x} — гэта вэктар, то градыент, што падлічаны звычайным чынам, аказваецца каварыянтным вэктарам, гэта значыць вэктарам, які прадстаўлены ў дуальным базісе, які толькі і можна атрымаць са скаляру пры простым сумаваньні здабыкаў каардынат звычайнага кантраварыянтнага, гэта значыць вэктарам, які запісаны ў звычайным базісе. Такім чынам, выраз (наогул кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i

альбо апускаючы па правілу Айнштайна знак сумаваньня,

df=(\partial_i f)\,dx^i

(у артанарміраваным базісе мы можа пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі раней). Аднак градыент застаецца каварыянтным вэктарам у адвольных крывалінейных каардынатах.

Прыклад[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Напрыклад, градыент функцыі \varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-\sin z будзе ўяўляць:

\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z)

У фізыцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

У розных галінах фізыкі выкарысоўваюць панятак градыенту адвольных фізычных палёў.

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастаньне альбо памяньшэньне па якім-небудзь накірунку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпэратуры — павелічэньне альбо памяньшэньне па накірунку тэмпэратуры асяродзьдзя і г. д.

Геамэтрычны сэнс[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі \varphi:

\gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}.

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі \varphi у пункце \vec{x}{\,}^0 пэрпэндыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэты пункт. Модуль градыенту паказвае максымальную хуткасьць зьмяненьня функцыі ў навакольлі \vec{x}{\,}^0, гэта значыць частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні адлюстроўваюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыенту паказвае крутасьць спуску альбо пад’ёму ў дадзеным пункце.

Сувязь з вытворнай па кірунку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Выкарыстоўваючы правіла дыфэрэнцаваньня складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі \varphi па кірунку \vec{e}=(e_1,\;\ldots,\;e_n) роўная скалярнаму здабытку градыенту \varphi на адзінкавы вэктар \vec{e}:

 \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi}{\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\;\vec e)

Такім чынам, для падліку вытворнай па адвольнаму кірунку дастаткова ведаць градыент функцыі, гэта значыць вэктар, кампанэнты якога зьяўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

\operatorname{grad}\,U(q_1,\;q_2,\;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,

дзе H_i — каэфіцыэнты Ламэ.

Цыліндрычныя каардынаты[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Каэфіцыэнты Ламэ:

\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = 1. \end{matrix}

Адсюль:

\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.

Сфэрычныя каардынаты[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Каэфіцыэнты Ламэ:

\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = r\sin{\theta}. \end{matrix}

Адсюль:

\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.