Пераўтварэньне Фур’е

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Пераўтварэньне Фур'е — аналяг пасьлядоўнасьці каэфіцыентаў Фур'е. Тэрмін атрымаў імя францускага матэматыка Жазэфа Фур'е. Пераўтварэньнем Фур'е функцыі f называецца функцыя


g(u) = \mathcal{F}[f](u)
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{iut}\,dt.

У некаторых выпадках праўдзіцца формула


f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty g(u) e^{-iux}\,du

— аналяг шэрагу Фур'е. Апошні інтэграл называецца адваротным пераўтварэньнем Фур'е функцыі g і абазначаецца F-1[g]. Некаторыя апэрацыі з функцыямі пераходзяць пры пераўтварэньні Фур'е ў адпаведныя апэрацыі над іх вобразамі. Напрыклад, калі функцыя f ёсьць згортка функцый f1 і f2, гэта значыць:


f(x) = (f_{1} * f_{2})(x)
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f_{1}(x-s)f_{2}(s)\,ds,

то 
F[f] = F[f_{1} * f_{2}] = F[f_{1}] F[f_{2}].

Пераўтварэньне Фур'е шырока ўжываецца ў пэўных разьдзелах матэматыкі і тэарэтычнай фізыкі.