Тэарэма Гаўса

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
Клясычная электрадынаміка
Магнітныя лініі ў саленоідзе
Электрычнасьць · Магнэтызм

Тэарэ́ма Га́ўса — адзін з асноўных законаў электрадынамікі, вызначае сувязь паміж струмянём вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню і поўным электрычным зарадам у аб'ёме, які атачае гэтая паверхня. Тэарэма Гаўса ўваходзіць у сыстэму раўнаньняў Максўэла.


Тэарэма Гаўса для напружанасьці электрычнага поля[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Тэарэма Гаўса для поля і зарадаў у вакуўме фармулюецца наступным чынам:

Струмень вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.
СГС СІ
\Phi_\mathbf{E}=4\pi Q,
\Phi_\mathbf{E}=\frac{Q}{\varepsilon_0},

дзе

  • \Phi_\mathbf{E}\equiv\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} — струмень вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню S;
  • Q — поўны зарад у аб'ёме, які атачае паверхня S;
  • \varepsilon_0 — электрычная канстанта.

Тэарэму Гаўса можна сфармуляваць і ў дыфэрэнцыйнай форме:

СГС СІ
\mathrm{div}\,\mathbf{E}=\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi\rho,
\mathrm{div}\,\mathbf{E}=\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},

дзе \rho — аб'ёмная шчыльнасьць электрычнага зараду.

Вывад з закону Кулёна[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Доказ: Струмень вэктара напружанасьці пунктавага зараду праз элемэнт паверхні dS складае

d \Phi = \vec E \vec {dS} = \frac {q dS cos \varphi} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} = \frac {q dS_r} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}, дзе dS_r праекцыя dS на роўніцу, пэрпэндыкулярную да вэктару \vec r, накіраванага ад зараду да паверхні.

Велічыня \frac {dS_r} {r^2} уяўляе сабой цялесны кут d\Omega, пад якім з пункту знаходжаньня зараду бачная паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны струмень праз замкнёную паверхню роўны

\Phi = \oint \frac {q dS_r} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} = \oint \frac {q d\Omega} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon} = \frac q {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon} \oint d\Omega = \frac q {\varepsilon_0 \varepsilon}

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, дык яго струмень праз паверхню роўны нулю, таму што любая простая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасьць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і другі раз — выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып супэрпазыцыі электрычных палёў, агульны струмень праз замкнёную паверхню можна знайсьці як суму струменяў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

\Phi = \Sigma \Phi_i = \frac {\Sigma q_i} {\varepsilon_0 \varepsilon}

Тэарэма Гаўса зьяўляецца вынікам закона Кулёна. Яна ўжываная і да іншых палёў, напружанасьць якіх вызначаецца законам, падобным да кулёнаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненьні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасьці будзе выконваць паскарэньне вольнага падзеньня, а замест зараду будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

\Phi = 4 \pi G M

дзе G — унівэрсальная гравітацыйная канстанта.