Дыфэрэнцыйнае раўнаньне

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку

Дыфэрэнцыйнае раўнаньнераўнаньне, якое зьвязвае значэньне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэньне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне ўтрымлівае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя зьменныя; аднак ня кожнае раўнаньне, якое зьмяшчае вытворныя невядомай функцыі, зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Напрыклад, \ f'(x)=f(f(x)) не зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Варта таксама адзначыць, што дыфэрэнцыйнае раўнаньне можа наогул не зьмяшчаць невядомую функцыю, некаторыя яе вытворныя і свабодныя зьменныя, але абавязкова зьмяшчаць прынамсі адну з вытворных. Дыфэрэнцыйныя раўнаньні гуляюць важную ролю ў тэхніцы, фізыцы, эканоміцы й іншых дысцыплінах.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні ўзьнікаюць у многіх галінах навукі й тэхнікі, у прыватнасьці, калі маюцца дэтэрмінаваныя адносіны з удзелам некаторых бесьперапынна зьмяняльных велічыняў і тэмпы іхных зьменаў у прасторы ці часе вядомыя. Гэтае маецца ў клясычнай мэханіцы, дзе рух цела апісваецца ягоным становішчам і хуткасьцю, у той час як значэньне часу зьмяняецца. Законы Ньютана дазваляюць з улікам месцазнаходжаньня, хуткасьці, паскарэньня й розных сілаў, якія дзейнічаюць на цела, выказаць гэтыя зьмены дынамічна праз дыфэрэнцыйнае раўнаньне для невядомага становішча цела як функцыю часу. У некаторых выпадках, гэтае дыфэрэнцыйнае раўнаньне, гэтак званыя раўнаньні руху, могуць быць вырашаны ў відавочным выглядзе.

Прыкладам мадэляваньня праблемы рэальнага сьвету з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў зьяўляецца вызначэньне хуткасьці падзеньня шара ў паветры, разглядаючы толькі гравітацыю й супраціў паветра. Паскарэньне шара да зямлі зьяўляецца паскарэньнем сілы цяжару за мінусам запаволеньня шара з-за супраціву паветра. Гравітацыя лічацца сталай велічынёй, а супраціў паветра можа быць змадэляваны як прапарцыйная велічыня да хуткасьці шара. Гэта азначае, што паскарэньне шара, якое зьяўляецца вытворным ад ягонай хуткасьці, залежыць ад хуткасьці, а хуткасьць залежыць ад часу. Знаходжаньне хуткасьці як функцыі часу ўключае ў сябе рашэньні дыфэрэнцыйных раўнаньняў.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні першага парадку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Раўнаньне F(x, y, y ') = 0, дзе y=y(x) — невядомая функцыя, якая непарыўна дыфэрэнцуецца на адцінку (a, b), называецца звычайным дыфэрэнцыйным раўнаньнем першага парадку.

Функцыя y=y(x) называецца рашэньнем дыфэрэнцыйнага раўнаньня F(x, y, y ') = 0,, калі яна непарыўна дыфэрэнцуецца на (a, b) і F(x, y, y ') = 0 \forall x.

Раўнаньні першага парадку, вырашаныя адносна вытворнай[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Звычайнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку першай ступені, якое вырашанае адносна вытворнай можна прадставіць у выглядзе \frac{dy}{dx}=f(x, y).

Прыклад[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

\frac{dy}{dx}=f(x)

Рашэньне гэтага раўнаньня:

{dy}=f(x)\,dx

y=\int f(x)\,dx + c

Аднародныя раўнаньні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Аднародныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні — раўнаньні выгляду y'=f(\frac{y}{x}). Таксама могуць быць запісаныя ў выглядзе M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, дзе M(x,y) і N(x,y) зьяўляюцца аднароднымі функцыямі адной і той жа ступені.[1]

Прыклад[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Для таго, каб рашыць аднароднае раўнаньне, можна зрабіць замену y=tx.

xdy=(x+y)dx

y=tx

x(xdt+tdx)=(x+tx)dx

xdt=dx

Адкуль:

dt=\frac{dx}{x}, (*)

t=\ln |x|+c

Паколькі y=tx, y=x(\ln |x|+c). Таксама засталося рашэньне x=0, якое было згубленае пры дзяленьні на x (гл. (*)).

Лінейныя раўнаньні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Лінейнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку — раўнаньне, якое лінейнае адносна нейкай невядомай функцыі і яе вытворнай. Выгляд лінейнага раўнаньня:

t=\frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x), дзе p(x) іf(x) лічацца непарыўнымі функцыямі ў вобласьці інтэграваньня раўнаньня[2].

Лінейныя аднародныя раўнаньні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Калі f(x)\equiv0, то лінейнае раўнаньне аднароднае. Такія раўнаньні рашаюцца дзяленьнем зьменных:

\frac{dy}{dx}+p(x)y=0

\frac{dy}{y}=-p(x){dx}

Інтэгруем: \ln |y|=-\int {p(x)dx}+\ln c, дзе c>0

y=e ^ {\int\! p(x)\,dx}, дзе c\ne0

Пры дзяленьні на y згубілася рашэньне y\equiv0.

Лінейныя неаднародныя раўнаньні[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Для вырашэньня лінейных неаднародных раўнаньняў можа быць прыменены мэтад варыяцыі пастаяннай[3].

Раўнаньне Бэрнулі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Гл. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі

Раўнаньне Рыкаці[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Гл. Раўнаньне Рыкаці

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні парадку, вышэйшага за першы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні n-га парадку маюць выгляд

y^{(n)}=f(x.y,y',...,y^{(n-1)}).

Калі раўнаньне вырашанае адносна самай высокай вытворнай, яно мае выгляд F(x,y,y',...,y^{(n)}).

Паніжэньне парадку дыфэрэнцыйнага раўнаньня[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Для вырашэньня дыфэрэнцыйнага раўнаньня n-га парадку неабходна панізіць гэты парадак. Гэта можна ажыцьцявіць шматлікімі спосабамі.

Прыклад[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

yy''=y'^2

Падзелім раўнаньне на yy':

\frac{y''}{y'}=\frac{y'}{y}.

Адкуль (\ln y')'=(\ln y)',

\ln y'=\ln y+\ln c,

y'=yc.

Парадак раўнаньня панізілі.

Лінейныя раўнаньні вышэйшых парадкаў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Раўнаньне выгляду

 y^{(n)} + p_1 (x)y^{(n-1)} + p_2 (x)y^{(n-2)} + ... + p_{n-1} (x) y' + p_n (x)y = f(x)

называецца лінейным раўнаньнем n-га парадку.

Калі f(x) = 0 \forall x, то раўнаньне называецца аднародным. Калі ж f(x) \ne \ 0, то раўнаньне называецца неаднародным[4].

Раўнаньні з пастаяннымі каэфіцыентамі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Раўнаньне выгляду

 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + a_2 y^{(n-2)} + ... + a_{n-1}  y' + a_n y = 0

з пастаяннымі рэчаіснымі каэфіцыентамі a_1, a_2, ..., a_n мае фундамэнтальную сыстэму рашэньняў (ФСР) y_1, y_2, ..., y_n \forall x.

Агульнае рашэньне, якое адпавядае ФСР: y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + ... + C_n y_n, дзе C_1, C_2, ..., C_n — вольныя пастаянныя.

Неаднароднае раўнаньне

 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + a_2 y^{(n-2)} + ... + a_{n-1}  y' + a_n y = f(x)

можа быць праінтэграванае з дапамогай мэтаду варыяцыі вольных пастаянных[5][6].

Крыніцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ Филиппов, Алексей Федорович. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : Учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. - 7-е изд., стер. - М. : Наука, 1992. - 127, [1] с. : ил. ; 20 см.
  2. ^ Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
  3. ^ Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org
  4. ^ Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 132
  5. ^ Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 136-138
  6. ^ Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org

Вонкавыя спасылкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Commons-logo.svg  Дыфэрэнцыйнае раўнаньнесховішча мультымэдыйных матэрыялаў