Тэарэма Гаўса

	Клясычная электрадынаміка
Электрастатыка
	Закон Кулона; Тэарэма Гаўса; Электрычны дыпольны момант; Электрычны зарад; Электрычная індукцыя; Электрычнае поле; Электрастатычны патэнцыял
Магнітастатыка
	Закон Бія — Савара — Лапласа; Закон Ампэра; Магнітны момант; Магнітнае поле; Магнітны струмень
Электрадынаміка
	Дыполь; Сіла Лорэнца; Ток зрушэньня; Уніпалярная індукцыя; Раўнаньні Максвэла; Электрычны ток; Электрарухаючая сіла; Электрамагнітная індукцыя; Электрамагнітнае выпраменьваньне; Электрамагнітнае поле
Электрычны ланцуг
	Закон Ома; Законы Кірхгофа; Індуктыўнасьць; Радыёхвалевод; Рэзанатар; Электрычная ёмістасьць; Электрычная праводнасьць; Электрычны супраціў; Электрычны імпэданс
Вядомыя навукоўцы
	Гэнры Кавэндыш; Майкл Фарадэй; Андрэ-Мары Ампэр; Густаў Робэрт Кірхгоф; Джэймс Клерк (Кларк) Максвэл; Гэнры Рудольф Гэрц; Альбэрт Абрахам Майкэльсан; Робэрт Эндрюс Мілікэн
	прагляд • абмеркаваньне • рэдагаваць

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.

Перайсьці да: навігацыя, пошук

Тэарэ́ма Га́ўса вызначае паток вэктара напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню. Гэта адзін з найважнейшых законаў электрастатыкі.

Фармулёўка тэарэмы:

Паток вектара напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.

$\Phi = \frac Q {\varepsilon_0 \varepsilon}$

Доказ: Паток вэктара напружанасьці пунктавага зараду праз элемэнт паверхні dS складае

$d \Phi = \vec E \vec {dS} = \frac {q dS cos \varphi} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} = \frac {q dS_r} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}$ , дзе $d S r$ праекцыя dS на роўніцу, пэрпэндыкулярную да вэктара $\vec r$ , накіраванага ад зараду да паверхні.

Велічыня $\frac {dS_r} {r^2}$ уяўляе сабой цялесны кут $d Ω$ , пад якім з пункта знаходжаньня зараду бачная паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны паток праз замкнёную паверхню роўны

$\Phi = \oint \frac {q dS_r} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} = \oint \frac {q d\Omega} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon} = \frac q {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon} \oint d\Omega = \frac q {\varepsilon_0 \varepsilon}$

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, дык яго паток праз паверхню роўны да нуля, таму што любая прамая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасьць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і другі раз — выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып супэрпазыцыі электрычных палёў, агульны паток праз замкнёную паверхню можна знайсьці як суму патокаў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

$\Phi = \Sigma \Phi_i = \frac {\Sigma q_i} {\varepsilon_0 \varepsilon}$

Тэарэма Гаўса зьяўляецца вынікам закона Кулёна. Яна ўжывальная і да іншых палёў, напружанасьць якіх вызначаецца законам, падобным да кулёнаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненьні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасьці будзе выконваць паскарэньне вольнага падзеньня, а замест зараду будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

$Φ = 4π G M$

дзе G — унівэрсальная гравітацыйная канстанта.