Пі

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
Мазайка ля ўвахода ў Бэрлінскі тэхнічны ўнівэрсытэт з выявай π
Калі прыняць дыямэтар акружыны за адзінку, тады даўжыня акружыны — гэта лік «пі»

Лік π (прамаўляецца «пі») — матэматычная канстанта, абазначэньне дзелі даўжыні акружыны на яе дыямэтар. Пазначаецца літарай грэцкага альфабэту «пі».

Лік \pi упершыню паўстаў ў геамэтрыі як дзеля даўжыні акружыны на як дыямэтар, аднак ён зьяўляецца і ў іншых абласьцях матэматыкі. Лік \pi ірацыянальны і трансцэндэнтны.

Упершыню пазначэньнем гэтага ліку грэцкай літарай \pi скарыстаўся брытанскі матэматык Ўільям Джонс у 1706 годзе, а агульнапрынятым ён стаў пасьля працаў Леанарда Ойлера у 1737 годзе.[1][2] Гэтае пазначэнне паходзіць ад пачатковай літары грэцкіх словаў па-старажытнагрэцку: περιφέρεια — акружына, пэрыфэрыя і па-старажытнагрэцку: περίμετρος — пэрымэтар.

Ацэнкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Ацэнкі ў выглядзе дробаў:


Уласьцівасьці[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Трансцэндэнтнасьць і ірацыянальнасьць[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Стасункі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Вядома шмат формулаў ліку \pi:

\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
  • Тоеснасьць Ойлера:
e^{\pi i} + 1 = 0\;

Спосабы вылічэньня[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Прынцып Архімэда

Архімэд, магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэньня \pi матэматычным спосабам. Для гэтага ён упісваў у акружыну і акрэсьліваў вакол яе правільныя шматкутнікі. Прымаючы дыямэтар акружыны за адзінку, Архімэд разглядаў пэрымэтар умежанага шматкутніка як ніжнюю ацэнку даўжыні акружыны, а пэрымэтар акрэсьленага шматкутніка як верхнюю ацэнку. Так, для шасьцікутніка (глядзі малюнак) атрымоўваецца 3 < \pi < 2\sqrt{3}.

Разглядаючы правільны 96-кутнік, Архімэд атрымаў ацэнку 3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}.

У Новы час для вылічэньня \pi выкарыстоўваюцца аналітычныя мэтады, заснаваныя на тоеснасьцях. Пералічаныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэтаў, паколькі альбо карыстаюць павольна зьбежныя шэрагі, альбо патрабуюць складанай апэрацыі здабываньня квадратнага кораня.

Першую эфэктыўную формулу знайшоў у 1706 Джон Мэчын:

\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}

Расклаўшы арктангенс у шэраг Тэйлара, можна атрымаць хутка зьбежны шэраг, прыдатны для вылічэньня ліку \pi зь вялікай дакладнасьцю.

Яшчэ хутчэй працуюць альгарытмы, заснаваныя на формулах Рамануджана

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \, 396^{4k}}

і Чудноўскага

\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 \, 640320^{3k + 3/2}}

У 1997 Дэйвід Х. Бэйлі, Пітэр Боруэйн і Сайман Плуфф вынайшлі [8] спосаб хуткага вылічэньня адвольнай двайковай лічбы ліку \pi без вылічэньня папярэдніх лічбаў, заснаваны на формуле

\pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)

Цікавыя факты[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Сусьветны рэкорд па запамінаньні знакаў ліку \pi пасьля коскі належыць кітайцу Лю Чаа, які ў 2006 годзе на працягу 24 гадзінаў і 4 хвілінаў узнавіў 67 890 знакаў пасьля коскі без памылкі.[9][10] У тым жа 2006 годзе японец Акіра Харагучы (Akira Haraguchi) заявіў, што запомніў лік \pi да 100-тысячнага знаку пасьля коскі,[11] аднак праверыць гэта афіцыйна не атрымалася.[12]
  • Яшчэ адной датай, звязанай зь лікам Пі, зьяўляецца 22 ліпеня, якое завецца «Днём набліжанага ліку Пі» (па-ангельску: Pi Approximation Day), бо ў эўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэньне гэтага дробу зьяўляецца набліжаным значэньнем ліку Пі.
Помнік ліку «пі» на прыступках перад будынкам Музэя мастацтваў у Сіетле
  • У штаце Індыяна (ЗША) у 1897 годзе быў выпушчаны біль (гл. en:Indiana Pi Bill), які на заканадаўчым узроўні ўсталёўваў значэньне ліку Пі, роўным 3,2.[13] Гэты біль ня стаў законам, дзякуючы своечасоваму ўмяшальніцтву прафэсара ўнівэрсытэта Пэрдзью, які прысутнічаў на заканадаўчым паседжаньні штату падчас разгледжаньня гэтага закону.
  • Цяпер лік \pi вылічаны да 5 трыльёнаў знакаў пасьля коскі.[14]

У культуры[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Існуе мастацкі фільм, названы ў гонар ліку Пі. У стужцы значэньне й гісторыя гэтага ліку адсылаюць да рэлігійных тэмаў і магчымых сувязяў зь фінансавымі трэндамі.
  • У творы Сяргея Лук’яненкі «Спэктар» згадваюцца сусьветы, дзе Пі роўны 4.

Крыніцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ Comanor, Milton; Ralph P. Boas (1976). "Pi". In William D. Halsey. Collier's Encyclopedia. 19. New York: Macmillan Educational Corporation. pp. 21–22.
  2. ^ Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences (2009): "Jones was first to use π for the ratio (perimeter/diameter) of a circle, in 1706."
  3. ^ Lambert, Johann Heinrich. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, ст. 265–322.
  4. ^ Доказ Кляйна дададзены на працы «Пытаньні элемэнтарнай і вышэйшай матэматыкі», ч. 1, якая выйшла ў Гётынгене ў 1908 годзе.
  5. ^ Weisstein, Eric W. Пастаянная Гельфонда(анг.)
  6. ^ Weisstein, Eric W. Ірацыянальны лік(анг.)
  7. ^ Мадулярныя функцыі і пытаньні трансцэндэнтнасьці
  8. ^ http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/BaileyBorweinPlouffe.pdf
  9. ^ Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi
  10. ^ Interview with Mr. Chao Lu
  11. ^ How can anyone remember 100,000 numbers? — The Japan Times, 17.12.2006.
  12. ^ Pi World Ranking List
  13. ^ The Indiana Pi Bill, 1897 (анг.)
  14. ^ 5 Trillion Digits of Pi - New World Record(анг.)

Вонкавыя спасылкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Commons-logo.svg  Пісховішча мультымэдыйных матэрыялаў