Трыкутнік

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
Стандартныя пазначэньні

Трыку́тнік[1][2][3] (тро́хвуго́льнік) у эўклідавай геамэтрыі — тры пункты, якія не ляжаць на адной простай лініі, і тры адцінкі, якія іх злучаюць.

Інакш кажучы, трыкутнік — найпрасьцейшы шматкутнік, які мае 3 вяршыні і 3 бакі.

Вяршыні трыкутніку звычайна пазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні кутоў пры адпаведных вяршынях — грэцкімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні супрацьлеглых бакоў — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трыкутнік зьяўляецца шматграньнікам і 2-сымплексам. У эўклідавай геамэтрыі трыкутнік адназначна задае роўніцу. Усе трыкутнікі двухмерныя.

Клясыфікацыя трыкутнікаў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Віды трыкутнікаў паводле велічыні кутоў
Востракутны трыкутнік
Востракутны
Тупакутны трыкутнік
Тупакутны
Прастакутны трыкутнік
Прастакутны

Паводле велічыні кутоў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Паколькі сума кутоў трыкутніку роўная 180°, то ня менш за два куты ў трыкутніку маюць быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трыкутнікаў:

  • Калі ўсе куты трыкутніку вострыя, то трыкутнік завецца востракутным;
  • Калі адзін з кутоў трыкутніку тупы (большы за 90°), то трыкутнік завецца тупакутным;
  • Калі адзін з кутоў трыкутніку просты (роўны 90°), то трыкутнік завецца прастакутным. Два бакі, што ўтвараюць просты кут, завуцца катэтамі, а бок, супрацьлеглы простаму куту, завецца гіпатэнузай.
Віды трыкутнікаў паводле колькасьці роўных бакоў
Рознабаковы трыкутнік
Рознабаковы
Раўнаплечы трыкутнік
Раўнаплечы
Роўнабаковы трыкутнік
Роўнабаковы

Паводле колькасьці роўных бакоў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  • Рознабаковым завецца трыкутнік, у якога даўжыні трох бакоў парамі розныя.
  • Раўнаплечым завецца трыкутнік, у якога два бакі роўныя. Гэтыя бакі завуцца бочнымі, трэці бок завецца асновай. У раўнаплечым трыкутніку куты пры аснове роўныя. Вышыня, мэдыяна і раўнасечная раўнаплечага трыкутніку, апушчаныя на аснову, супадаюць.
  • Роўнабаковым завецца трыкутнік, у якога ўсе тры бакі роўныя. У роўнабаковым трыкутніку ўсе куты роўныя 60°, а цэнтры умежанай і акрэсьленай акружынаў супадаюць.

Няроўнасьць трыкутніку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Бакі трыкутніку нельга задаваць адвольна, іх зьвязваюць наступныя няроўнасьці

  • a<b+c
  • b<c+a
  • c<a+b

У выпадку выкананьня роўнасьці ў адным зь іх трыкутнік завецца звыродным, далей усюды мяркуецца незвыродны выпадак.

Прыкметы роўнасьці трыкутнікаў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Трыкутнік адназначна (з дакладнасьцю да кангруэнтнасьці) можна вызначыць па наступных тройках асноўных элемэнтаў:

  • a, b, c (роўнасьць паводле трох бакоў);
  • a, b, γ (роўнасьць паводле двух бакоў і куту паміж імі);
  • a, β, γ (роўнасьць паводле бока і двух прылеглых кутоў).

Адцінкі і акружыны, зьвязаныя з трыкутнікам[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Акружына, датычная ўсіх трох бакоў трыкутніку, завецца яго ўмежанай акружынай. Яна адзіная. Акружына, якая праходзіць праз усё тры вяршыні трыкутніку, завецца яго акрэсьленай акружынай. Акрэсьленая акружына таксама адзіная.

Мэдыянай трыкутніку, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адцінак, які злучае гэтую вяршыню зь сярэдзінай супрацьлеглага боку. Усе тры мэдыяны трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт перасячэньня завецца цэнтроідам або цэнтрам цяжару трыкутніку. Апошні назоў звязаны з тым, што ў трыкутніку, зробленага з аднастайнага матэрыялу, цэнтар цяжару знаходзіцца ў пункце перасячэньня мэдыянаў. Цэнтроід падзяляе кожную мэдыяну ў стасунку 1:2, калі лічыць ад асновы мэдыяны.

Пэрпэндыкуляр, апушчаны зь вяршыні трыкутніку на супрацьлеглы бок або яго працяг, завецца вышынёй трыкутніку. Тры вышыні трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце, які называецца артацэнтрам трыкутніку.

Раўнасечнай трыкутніку, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адцінак, які злучае гэтую вяршыню з пунктам на супрацьлеглым боку і якая дзеліць кут пры дадзенай вяршыні напалову. Раўнасечныя трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам умежанай акружыны.

Як было зазначана, у роўнабаковым трыкутніку раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Дакладна і зваротнае: калі раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трыкутнік роўнабаковы. Калі трыкутнік рознабаковы, то для любой яго вяршыні раўнасечная, праведзеная зь яе, ляжыць паміж мэдыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Пасярэднія пэрпэндыкуляры да бакоў трыкутніку таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам акрэсьленай акружыны.

Пазаўмежанай акружынай завецца акружына, датычная аднаго боку трыкутніку і працягу двух іншых бакоў.

Сярэдзіны трох бакоў трыкутніку, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адцінкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружыне, якая завецца акружынай дзевяці пунктаў.

У любым трыкутніку цэнтар цяжару, артацэнтар, цэнтар акрэсьленай акружыны і цэнтар акружыны дзевяці пунктаў ляжаць на адной простай лініяй, якая называецца простай Ойлера.

Суадносіны ў трыкутніку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Калі вядомыя тры велічыні, паказаныя вышэй, то астатнія можна знайсьці па наступных формулах:

Тэарэма сінусаў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R

(З тэарэмы выцякае, што калі a < b < c, то α < β < γ)

Тэарэма косінусаў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ

(Зьяўляецца абагульненьнем тэарэмы Піфагора)

Тэарэма пра суму кутоў трыкутніку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

α + β + γ = 180° (π)

Іншыя суадносіны[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Мэтрычныя суадносіны ў трыкутніку прыведзеныя для трыкутніку \triangle ABC:

  1. {a\over b}={a_L\over b_L}
  2. l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} 
= \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
  3. m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}
  4. h_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}
  5. \ d^2 = R^2 - 2Rrформула Ойлера
  6. \frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} 
= \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1

Дзе:
\ l_a, l_b, l_c — адпаведна раўнасечныя кутоў A, B і C,
\ a_L, b_L — адцінкі, на якія раўнасечная \ l_c дзеліць бок \ c,
\ m_a, m_b, m_c — мэдыяны, праведзеныя адпаведна да бакоў a, b і c,
\ h_a, h_b, h_c — вышыні, апушчаныя адпаведна на бакі a, b і c,
\ r — радыюс умежанай акружынай,
\ R — радыюс акрэсьленай акружынай,
p=\frac {a+b+c}{2} — напаўпэрымэтар,
\ Sплошча,
\ d — адлегласьць паміж цэнтрамі ўмежанай і акрэсьленай акружынаў.

Плошча трыкутніку[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Найвядомейшая й найпрасьцейшая формула:

S=\frac{1}{2}bh_b

Дзе:

\ b — даўжыня асновы трыкутніку (бок, на які праведзены пэрпэндыкуляр)
\ h_b — вышыня, праведзеная на бок \ b,

Гэтая формула можа быць выкарыстана толькі тады, калі можна лёгка знайсьці вышыню.

Трыганамэтрычны спосаб вылічэньня вышыні h

Трыганамэтрычны спосаб[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Вышыню трыкутніку можна вызначыць з выкарыстаньнем трыганамэтрычных формулаў. У адпаведнасьці з пазначэньнямі на выяве леваруч, вышыня роўная \ h_b = a \sin \gamma. Калі падставіць вышыню ў формулу S= \frac{1}{2}bh_b якая прыведзеная вышэй, атрымаем:

S =  \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta.

Апроч гэтага, \ sin \alpha = sin ( \pi - \alpha ) = sin (\beta + \gamma), што справядліва і для іншых двух кутоў:

S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).

З выкарыстаньнем вэктараў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вэктараў. Няхай вэктары AB і AC спраставаны адпаведна ад A да B і ад A да C. Тады плошча паралелаграма ABDC роўная |AB × AC|, г.зн. лічбаваму значэньню вэктарнаму множаньню AB і AC. |AB × AC| роўнае |h × AC|, дзе h — вышыня паралелаграма як вэктар.

Плошча трыкутніку ABC роўная палове плошчы паралелаграма S = ½|AB × AC|.

Плошчу трыкутніку ABC таксама можна вылічыць як скалярнае множаньне вэктараў.


\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \, .

Выкарыстаньне каардынатаў[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Калі пункт А разьмешчаны ў пункце адліку (0, 0) Дэкартавай каардынатнай сыстэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B = (xByB) і C = (xCyC), тады плошча S можа быць вылічана як ½ абсалютнага значэньня дэтэрмінанту:

S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.

У больш агульным выпадку:

S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|.

У трохмернай прасторы плошча трыкутніку {A = (xAyAzA), B = (xByBzB) і C = (xCyCzC)} роўная Піфагоравай суме адпаведных праекцыяў на тры галоўныя роўніцы (для якіх x = 0 або y = 0 або z = 0):

S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.

Формула Герона[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Форма трыкутніку адназначна вызначаецца трыма бакамі. Адпаведна, для таго каб падлічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыню бакоў. Паводле формулы Герона:

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

де s = ½ (a + b + c)напаўпэрымэтар

Іншы спосаб запісу формулы Герона:

 S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.

Іншыя формулы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b
  2. S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
  3. S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
  4. S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
  5. S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)] у дадзенай формуле варта зьвярнуць увагу на абыход вяршыняў, калі ісьці паводле гадзіньнікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
  6. S_{\triangle ABC}=r^2+2rR — для прастакутнага трыкутніку

Дзе:

p=\frac {a+b+c}{2} — напаўпэрымэтар,
\ r — радыюс умежанай акружыны,
\ r_b — радыюс пазаўмежанай акружыны, датычны боку \ b,
\ R — радыюс акрэсьленай акружыны,
\ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C) — каардынаты вяршыняў трыкутніку.

Глядзіце таксама[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Крыніцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ Тэрміналагічны слоўнік па вышэйшай матэматыцы для ВНУ / Т. Сухая, Р. Еўдакімава, В. Траццякевіч, Н. Гудзень. — Мн.: Навука і тэхніка, 1993. С. 81, 160
  2. ^ Трыкутнік // Беларуска-расійскі слоўнік / Укладальнікі: М. Байкоў, С. Некрашэвіч. — Менск: Дзяржаўнае выдавецтва Беларусі, 1925. Факсімільнае выданьне: Менск: Народная асвета, 1993. ISBN 5-341-00918-5
  3. ^ Руска-беларускі фізічны слоўнік / Уклад. Самайлюковіч У., Пазняк У., Сабалеўскі А. — Мн.: Навука і тэхніка, 1994. С. 250

Вонкавыя спасылкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Commons-logo.svg  Трыкутніксховішча мультымэдыйных матэрыялаў