Трыкутнік

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі.

Стандартныя пазначэньні

Трыку́тнік^[1]^[2] (тро́хвуго́льнік) у эўклідавай геамэтрыі — тры пункты, якія не ляжаць на адной простай лініі, і тры адцінкі, якія іх злучаюць.

Інакш кажучы, трыкутнік — найпрасьцейшы шматкутнік, які мае 3 вяршыні і 3 бакі.

Вяршыні трыкутніка звычайна пазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні кутоў пры адпаведных вяршынях — грэцкімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні супрацьлеглых бакоў — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трыкутнік зьяўляецца шматграньнікам і 2-сымплексам. У эўклідавай геамэтрыі трыкутнік адназначна задае роўніцу. Усе трыкутнікі двухмерныя.

Зьмест

1 Клясыфікацыя трыкутнікаў
- 1.1 Паводле велічыні кутоў
- 1.2 Паводле колькасьці роўных бакоў
2 Няроўнасьць трыкутніка
3 Прыкметы роўнасьці трыкутнікаў
4 Адцінкі і акружыны, зьвязаныя з трыкутнікам
5 Суадносіны ў трыкутніку
6 Плошча трыкутніка
7 Глядзіце таксама
8 Крыніцы
9 Вонкавыя спасылкі

[рэдагаваць] Клясыфікацыя трыкутнікаў

Віды трыкутнікаў паводле велічыні кутоў
Востракутны	Тупакутны	Прастакутны

[рэдагаваць] Паводле велічыні кутоў

Паколькі сума кутоў трыкутніка роўная 180°, то ня менш за два куты ў трыкутніку маюць быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трыкутнікаў:

Калі ўсе куты трыкутніка вострыя, то трыкутнік завецца востракутным;
Калі адзін з кутоў трыкутніка тупы (большы за 90°), то трыкутнік завецца тупакутным;
Калі адзін з кутоў трыкутніка просты (роўны 90°), то трыкутнік завецца прастакутным. Два бакі, што ўтвараюць просты кут, завуцца катэтамі, а бок, супрацьлеглы простаму куту, завецца гіпатэнузай.

Віды трыкутнікаў паводле колькасьці роўных бакоў
Рознабаковы	Раўнаплечы	Роўнабаковы

[рэдагаваць] Паводле колькасьці роўных бакоў

Рознабаковым завецца трыкутнік, у якога даўжыні трох бакоў парамі розныя.
Раўнаплечым завецца трыкутнік, у якога два бакі роўныя. Гэтыя бакі завуцца бочнымі, трэці бок завецца асновай. У раўнаплечым трыкутніку куты пры аснове роўныя. Вышыня, мэдыяна і раўнасечная раўнаплечага трыкутніка, апушчаныя на аснову, супадаюць.
Роўнабаковым завецца трыкутнік, у якога ўсе тры бакі роўныя. У роўнабаковым трыкутніку ўсе куты роўныя 60°, а цэнтры умежанай і абмежнай акружынаў супадаюць.

[рэдагаваць] Няроўнасьць трыкутніка

Бакі трыкутніка нельга задаваць адвольна, іх зьвязваюць наступныя няроўнасьці

$a < b + c$
$b < c + a$
$c < a + b$

У выпадку выкананьня роўнасьці ў адным зь іх трыкутнік завецца выраджаным, далей усюды мяркуецца нявыраджаны выпадак.

[рэдагаваць] Прыкметы роўнасьці трыкутнікаў

Трыкутнік адназначна (з дакладнасьцю да кангруэнтнасьці) можна вызначыць па наступных тройках асноўных элемэнтаў:

a, b, c (роўнасьць паводле трох бакоў);
a, b, γ (роўнасьць паводле двух бакоў і куту паміж імі);
a, β, γ (роўнасьць паводле бока і двух прылеглых кутоў).

[рэдагаваць] Адцінкі і акружыны, зьвязаныя з трыкутнікам

Акружына, датычная ўсіх трох бакоў трыкутніка, завецца яго ўмежанай акружынай. Яна адзіная. Акружына, якая праходзіць праз усё тры вяршыні трыкутніка, завецца яго абмежнай акружынай. Абмежная акружына таксама адзіная.

Мэдыянай трыкутніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адцінак, які злучае гэтую вяршыню зь сярэдзінай супрацьлеглага боку. Усе тры мэдыяны трыкутніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт перасячэньня завецца цэнтроідам або цэнтрам цяжару трыкутніка. Апошні назоў звязаны з тым, што ў трыкутніка, зробленага з аднастайнага матэрыялу, цэнтар цяжару знаходзіцца ў пункце перасячэньня мэдыянаў. Цэнтроід падзяляе кожную мэдыяну ў тасунку 1:2, калі лічыць ад асновы мэдыяны.

Пэрпэндыкуляр, апушчаны зь вяршыні трыкутніка на супрацьлеглы бок або яго працяг, завецца вышынёй трыкутніка. Тры вышыні трыкутніка перасякаюцца ў адным пункце, які называецца артацэнтрам трыкутніка.

Раўнасечнай трыкутніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адцінак, які злучае гэтую вяршыню з пунктам на супрацьлеглым боку і якая дзеліць кут пры дадзенай вяршыні напалову. Раўнасечныя трыкутніка перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам умежанай акружыны.

Як было зазначана, у роўнабаковым трыкутніку раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Дакладна і зваротнае: калі раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трыкутнік роўнабаковы. Калі трыкутнік рознабаковы, то для любой яго вяршыні раўнасечная, праведзеная зь яе, ляжыць паміж мэдыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Пасярэднія пэрпэндыкуляры да бакоў трыкутніка таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам абмежнай акружыны.

Пазаўмежанай акружынай завецца акружына, датычная аднаго боку трыкутніка і працягу двух іншых бакоў.

Сярэдзіны трох бакоў трыкутніка, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адцінкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружыне, якая завецца акружынай дзевяці пунктаў.

У любым трыкутніку цэнтар цяжару, артацэнтар, цэнтар абмежнай акружыны і цэнтар акружыны дзевяці пунктаў ляжаць на адной простай лініяй, якая называецца простай Эйлера.

[рэдагаваць] Суадносіны ў трыкутніку

Калі вядомыя тры велічыні, паказаныя вышэй, то астатнія можна знайсьці па наступных формулах:

[рэдагаваць] Тэарэма сінусаў

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

(З тэарэмы выцякае, што калі a < b < c, то α < β < γ)

[рэдагаваць] Тэарэма косінусаў

c² = a² + b² — 2ab cos γ

(Зьяўляецца абагульненьнем тэарэмы Піфагора)

[рэдагаваць] Тэарэма пра суму кутоў трыкутніка

α + β + γ = 180° (π)

[рэдагаваць] Іншыя суадносіны

Мэтрычныя суадносіны ў трыкутніку прыведзеныя для трыкутніка $\triangle ABC$ :

${a\over b}={a_L\over b_L}$
$l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}$
$m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$
$h_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}$
$\ d^2 = R^2 - 2Rr$ — формула Эйлера
$\frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1$

Дзе:
$\ l_a, l_b, l_c$ — адпаведна раўнасечныя кутоў $A$ , $B$ і $C$ ,
$\ a_L, b_L$ — адцінкі, на якія раўнасечная $\ l_c$ дзеліць бок $\ c$ ,
$\ m_a, m_b, m_c$ — мэдыяны, праведзеныя адпаведна да бакоў $a$ , $b$ і $c$ ,
$\ h_a, h_b, h_c$ — вышыні, апушчаныя адпаведна на бакі $a$ , $b$ і $c$ ,
$\ r$ — радыюс умежанай акружынай,
$\ R$ — радыюс абмежнай акружынай,
$p=\frac {a+b+c}{2}$ — напаўпэрымэтар,
$\ S$ — плошча,
$\ d$ — адлегласьць паміж цэнтрамі умежанай і абмежнай акружынаў.

[рэдагаваць] Плошча трыкутніка

Найвядомейшая й найпрасьцейшая формула:

$S=\frac{1}{2}bh_b$

Дзе:

$\ b$ — даўжыня асновы трыкутніка (бок, на які праведзены пэрпэндыкуляр)
$\ h_b$ — вышыня, праведзеная на бок $\ b$ ,

Гэтая формула можа быць выкарыстана толькі тады, калі можна лёгка знайсьці вышыню.

Трыганамэтрычны спосаб вылічэньня вышыні h.

[рэдагаваць] Трыганамэтрычны спосаб

Вышыню трыкутніка можна вызначыць з выкарыстаньнем трыганамэтрычных формулаў. У адпаведнасьці з пазначэньнямі на выяве леваруч, вышыня роўная $\ h_b = a \sin \gamma$ . Калі падставіць вышыню ў формулу $S= \frac{1}{2}bh_b$ якая прыведзеная вышэй, атрымаем:

$S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta.$

Апроч гэтага, $\ sin \alpha = sin ( \pi - \alpha ) = sin (\beta + \gamma)$ , што справядліва і для іншых двух кутоў:

$S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).$

[рэдагаваць] З выкарыстаньнем вэктараў

Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вэктараў. Няхай вэктары AB і AC спраставаны адпаведна ад A да B і ад A да C. Тады плошча паралелаграма ABDC роўная |AB × AC|, г.зн. лічбаваму значэньню вэктарнаму множаньню AB і AC. |AB × AC| роўнае |h × AC|, дзе h — вышыня паралелаграма як вэктар.

Плошча трыкутніка ABC роўная палове плошчы паралелаграма S = ½|AB × AC|.

Плошчу трыкутніка ABC таксама можна вылічыць як скалярнае множаньне вэктараў.

$\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \, .$

[рэдагаваць] Выкарыстаньне каардынатаў

Калі пункт А разьмешчаны ў пункце адліку (0, 0) Дэкартавай каардынатнай сыстэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B = (x_B, y_B) і C = (x_C, y_C), тады плошча S можа быць вылічана як ½ абсалютнага значэньня дэтэрмінанту:

$S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.$

У больш агульным выпадку:

$S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|.$

У трохмернай прасторы плошча трыкутніка {A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) і C = (x_C, y_C, z_C)} роўная Піфагоравай суме адпаведных праекцыяў на тры галоўныя роўніцы (для якіх x = 0 або y = 0 або z = 0):

$S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 + \left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.$

[рэдагаваць] Формула Герона

Форма трыкутніка адназначна вызначаецца трыма бакамі. Адпаведна, для таго каб падлічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыню бакоў. Паводле формулы Герона:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

де s = ½ (a + b + c) — напаўпэрымэтар

Іншы спосаб запісу формулы Герона:

$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.$

[рэдагаваць] Іншыя формулы

$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b$
$S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}$
$S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}$
$S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}$
$S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)]$ у дадзенай формуле варта зьвярнуць увагу на абыход вяршыняў, калі ісьці паводле гадзіньнікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
$S_{\triangle ABC}=r^2+2rR$ — для прастакутнага трыкутніка

Дзе:

$p=\frac {a+b+c}{2}$ — напаўпэрымэтар,
$\ r$ — радыюс умежанай акружыны,
$\ r_b$ — радыюс пазаўмежанай акружыны, датычны боку $\ b$ ,
$\ R$ — радыюс абмежнай акружыны,
$\ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)$ — каардынаты вяршыняў трыкутніка.

[рэдагаваць] Глядзіце таксама

[рэдагаваць] Крыніцы

^ Трыкутнік // Беларуска-расійскі слоўнік / Укладальнікі: Мікола Байкоў, Сьцяпан Некрашэвіч. — Менск: Дзяржаўнае выдавецтва Беларусі, 1925. Факсімільнае выданьне: Менск: Народная асвета, 1993. ISBN 5-341-00918-5
^ Руска-беларускі фізічны слоўнік / Уклад. Самайлюковіч У., Пазняк У., Сабалеўскі А. — Мн.: Навука і тэхніка, 1994. С. 250

[рэдагаваць] Вонкавыя спасылкі

Трыкутнік — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў

[0] Трыкутнік // Беларуска-расійскі слоўнік / Укладальнікі: Мікола Байкоў, Сьцяпан Некрашэвіч. — Менск: Дзяржаўнае выдавецтва Беларусі, 1925. Факсімільнае выданьне: Менск: Народная асвета, 1993. ISBN 5-341-00918-5

[1] Руска-беларускі фізічны слоўнік / Уклад. Самайлюковіч У., Пазняк У., Сабалеўскі А. — Мн.: Навука і тэхніка, 1994. С. 250

[1]

[2]

п • а • р Шматкутнікі
Шматкутнікі
Двухкутнік • Трыкутнік • Чатырохкутнік • Пяцікутнік • Шасьцікутнік • Васьмікутнік • Зорка
Правільныя шматкутнікі
Трыкутнік • Квадрат • Пэнтагон • Шасьцікутнік • Сямікутнік • Васьмікутнік • Дзевяцікутнік • Дзесяцікутнік