Альгебра

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
Трохмерны правабаковы кананоід, апісаны элемэнтарнымі альгебраічнымі раўнаньнямі
x=v \times \cos(u), y=v \times \sin(u), z=2 \times \sin(u)
.

А́льгебра — адзін з найстарэйшых падзелаў матэматыкі, які ўзьнік яшчэ ў старажытнасьці. Альгебра вывучае альгебраічныя структуры, апэрацыі над элемэнтамі мностваў, апэрацыі складаньня й множаньня, паняткі зьменных і г. д. Вывучэньне ўласьцівасьцяў кампазыцыяў рознага віду ў XIX стагодзьдзі прывяло да думкі, што асноўнай задачай альгебры зьяўляецца вывучэньне ўласьцівасьцяў апэрацыяў незалежна ад аб’ектаў, да якіх яны прымяняюцца. З тых часоў альгебра пачала разглядацца як агульная навука аб уласьцівасьцях і законах кампазыцыі апэрацыяў. У нашыя дні альгебра ёсьць адной з найважнейшых частак матэматыкі, якая знаходзіць прымяненьне як ў тэарэтычных, гэтак і ў практычных галінах навукі.

Найменьне «альгебра» ужываецца ў розных альгебраічных сыстэмах. Слова «альгебра» паходзіць ад назвы адной зь першых кнігаў па альгебры «Hisab al-dżabr wa’l-mukabala» (Кніга вылічэньняў шляхам дапаўненьня й раўнавагі), якую ў 825 годзе напісаў арабскі навуковец Аль-Харэзьмі. Даслоўна яно азначае «папаўненьне». Альгебра зьяўляецца адной з асноўных галінаў матэматыкі разам з геамэтрыяй, аналізам, тапалёгіяй, камбінаторыкай і тэорыяй лікаў.

Гісторыя[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Старажытны сьвет[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Старажытнагрэцкі матэматык Эўклід вылучае дэталі геамэтрычнай альгебры.

Складаныя задачы ўмелі вырашаць у пачатку 2 тысячагодзьдзя да н. э. у старажытным Бабілёне: у матэматычных тэкстах, выкананых клінапісам на гліняных таблічках, ёсьць квадратныя й біквадратныя раўнаньні, сыстэмы раўнаньняў з двума невядомымі й найпростыя кубічныя раўнаньні. Пры гэтым бабіляняне не выкарыстоўвалі літарных пазначэньняў, а прыводзілі рашэньні тыповых задачаў, зводзячы рашэньне аналягічных задачаў да замены лікавых значэньняў. У лічбавай форме прыводзіліся таксама й некаторыя правілы тоесных пераўтварэньняў. Калі пры рашэньні раўнаньня трэба было знайсьці квадратны корань ліку a, які не зьяўляецца дакладным квадратам, тады набліжанае значэньне кораня x знаходзілі як сярэдняе арытмэтычнае лікаў х і а/х.

Першыя агульныя сьцьвярджэньні аб тоесных пераўтварэньнях сустракаюцца ў старажытнагрэцкіх матэматыкаў, пачынаючы з VI стагодзьдзя да н. э. Сярод матэматыкаў старажытнай Грэцыі было прынята выяўляць усе альгебраічныя зацьвярджэньні ў геамэтрычнай форме. Замест даданьня лікаў казалі аб складаньні адрэзкаў, здабытак двух лікаў вытлумачвалі як плошча прастакутніку, а здабытак трох лікаў як аб’ём прастакутнага паралелепіпэду. Альгебраічныя формулы прымалі выгляд суадносінаў паміж плошчамі й аб’ёмамі. Напрыклад, казалі, што плошча квадрата, пабудаванага на суме двух адрэзкаў, роўная суме плошчаў квадратаў, пабудаваных на гэтых адрэзках, павялічанай на падвоеную плошчу прамавугольніка, пабудаванага на гэтых адрэзках. Такім чынам зьявіліся тэрміны «квадрат ліку», што азначае здабытак велічыні на сябе, «куб ліку», «сярэдняе геамэтрычнае». Геамэтрычную форму ў грэкаў набыла рашэньне квадратнага раўнаньня — яны шукалі значэньне боку прамавугольніка па зададзенаму пэрымэтру й плошчы.

Большасьць задачаў у Грэцыі вырашалася шляхам пабудоваў цыркулем і лінейкай. Але ня ўсе задачы маглі быць вырашаны такімі мэтадамі. Прыкладамі гэткіх задачаў зьяўляецца падваеньне куба, трысэкцыя кута, задача пабудовы правільнага сямікутніка. Усе яны зводзіліся да кубічных раўнаньняў выгляду x^{3}=2, 4x^{3}-3x=a і x^{3}+x^{2}-2x-1=0 адпаведна. Для вырашэньня гэтых задачаў быў распрацаваны новы мэтад, — адшуканьне кропак перасячэньня канічных перасекаў (эліпсу, парабалы й гіпэрбалы) .

Старажытнаіндыйскі матэматык Арыябгата I.

Геамэтрычны падыход да альгебраічных праблемаў абмяжоўваў далейшае разьвіцьцё навукі. Напрыклад, можна было дадаваць велічыні рознай памернасьці (даўжыні, плошчы, аб’ёму), нельга было казаць пра здабыткі больш за трох множнікаў. Ідэя адмовы ад геамэтрычнай трактоўцы зьявілася ў Дыяфанта Александрыйскага, які жыў у III стагодзьдзі. У ягонай кнізе «Арытмэтыка» зьяўляецца літарная сымболіка й спэцыяльныя абазначэньні для ступеняў да 6-й. Былі ў яго й абазначэньні для адмоўных ступеняў, адмоўных лікаў, а таксама знак роўнасьці (адмысловага знака для даданьня яшчэ не было), кароткі запіс правілаў множаньня станоўчых і адмоўных лікаў. На далейшае разьвіцьцё альгебры моцны ўплыў мелі дасьледаваныя Дыяфантам задачы, якія прыводзяць да складаных сыстэмаў альгебраічных раўнаньняў, у тым ліку да сыстэмаў, дзе колькасьць раўнаньняў было меншай за колькасьць невядомых. Для такіх раўнаньняў Дыяфант шукаў толькі станоўчыя рацыянальныя рашэньні.

З VI стагодзьдзя цэнтар матэматычных дасьледаваньняў перамясьціўся ў Індыю, Кітай, краіны Блізкага Ўсходу й Сярэдняй Азіі. Кітайскія навукоўцы распрацавалі мэтад пасьлядоўнага выключэньня невядомых для вырашэньня сыстэмаў лінейных раўнаньняў, далі новыя мэтады набліжанага рашэньня раўнаньняў вышэйшых ступеняў. Індыйскія матэматыкі, як то Арыябгата I, Брагмагупта, выкарыстоўвалі адмоўныя лікі, удасканалілі літарную сымболіку. Аднак толькі ў працах навукоўцаў Блізкага Ўсходу й Сярэдняй Азіі альгебра аформілася ў самастойную галіну матэматыкі, якая займаецца рашэньнем раўнаньняў. У IX стагодзьдзі ўзбэцкі матэматык і астраном Мухамэд аль-Харэзм напісаў трактат «Кітаб аль-джэбр Валь-мукабала», дзе даў агульныя правілы для вырашэньня раўнаньняў першай ступені. Слова «аль-джэбр» (аднаўленьне), ад якога новая навука атрымала сваю назву, азначала перанос адмоўных складнікаў раўнаньня з адной часткі ў іншую са зьменай знака. Навукоўцы Ўсходу вывучалі рашэньне кубічных раўнаньняў, аднак ня здолелі атрымаць агульнай формулы для іхных каранёў.

У Эўропе вывучэньне альгебры пачалося ў XIII стагодзьдзі. Адным з буйных матэматыкаў гэтага часу быў італьянец Леанарда Пізанскі, вядомы па мянушцы Фібаначчы. Ягоная «Кніга абака» 1202 году ёсьць трактатам, які ўтрымоўваў зьвесткі па арытмэтыцы й альгебры да квадратных раўнаньняў уключна. Першым буйным самастойным дасягненьнем заходнеэўрапейскіх навукоўцаў было адкрыцьцё формулы для вырашэньня кубічнага раўнаньня, апублікаванай у 1545 годзе. Гэта было заслугай італьянскіх альгебраістаў Сцыпіёна дэль Фэра, Нікалё Тартальля й Джыраляма Кардана. Вучань Кардана Лядовіка Фэрары вырашыў і раўнаньне 4-й ступені. Вывучэньне некаторых пытаньняў, зьвязаных з каранямі кубічных раўнаньняў, прывяло італьянскага альгебраіста Рафаэля Бамбэльлі да адкрыцьця камплексных лікаў.

Разьвіцьцё сымболікі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

У 1545 годзе італьянскі матэматык Джыраляма Кардана апублікаваў сваю працу «Ars Magna», у якім ён ўпершыню вылучыў мэтад рашэньня агульнага раўнаньня чацьвёртай ступені.

Адсутнасьць зручнай і разьвітой сымболікі стрымлівала далейшае разьвіцьцё альгебры: самыя складаныя формулы даводзілася выкладаць у форме словаў. У канцы XV стагодзьдзя Люка Пачолі зрабіў спробу ўвесьці альгебраічную сымболіку, аднак большага посьпеху ў гэтай справе дасягнуў у канцы XVI стагодзьдзя францускі матэматык Франсуа Віет, які ўвёў літарныя абазначэньні ня толькі для невядомых, але й для адвольных сталых велічыняў. Сымболіка Віета была ўдасканалена ягонымі пасьлядоўнікамі. Канчатковы выгляд ёй надаў ў XVII стагодзьдзі францускі філёзаф і матэматык Рэнэ Дэкарт, які ўвёў абазначэньні для паказчыкаў ступеняў, якія прымяняюцца да гэтага часу.

Паступова пашыраўся запас лікаў, зь якімі можна было выконваць дзеяньні. Пачалі шырока ўжывацца адмоўныя лікі, затым — камплексныя, навукоўцы сталі вольна выкарыстоўваць ірацыянальныя лікі. Аказалася, што, нягледзячы на ​​такое пашырэньне запасу лікаў, раней усталяваныя правілы альгебраічных пераўтварэньняў захоўваюць сваю сілу. Нарэшце, Дэкарт здолеў вызваліць альгебру ад неўласьцівай ёй геамэтрычнай формы. Усё гэта дало магчымасьць разглядаць пытаньне рашэньня раўнаньняў у самым агульным выглядзе, ужываць раўнаньні для вырашэньня геамэтрычных задачаў. Напрыклад, задача аб знаходжаньні пункту перасячэньня дзьвюх прамых зьвялася да вырашэньня сыстэмы раўнаньняў, якім задавальнялі пункты гэтых прамых. Гэты мэтад рашэньня геамэтрычных задачаў атрымаў назву аналітычнай геамэтрыі.

Разьвіцьцё альфабэтнай сымболікі дазволіла ўсталяваць агульныя сьцьвярджэньні адносна раўнаньняў: тэарэма Бэзу пра падзельнасьць шматскладніка P (х) на двухскладнік (х — а), дзе a ёсьць корань гэтага шматскладніка, формула Віета для суадносінаў паміж каранямі квадратнага раўнаньня й ягонымі каэфіцыентамі; правілы, якія дазваляюць ацэньваць колькасьць сапраўдных каранёў раўнаньня, агульныя мэтады выключэньня невядомых з сыстэмы раўнаньняў і г. д.

Далейшыя посьпехі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Асабліва далёка ў сфэры вырашэньня сыстэмы лінейных раўнаньняў удалося прасунуцца ў XVIII стагодзьдзі, то бок для іх былі атрыманы формулы, якія дазваляюць выказаць рашэньне праз каэфіцыенты й свабодныя складнікі. Далейшае вывучэньне такіх сыстэмаў раўнаньняў прывяло да тэорыі матрыц і вызначальнікаў. У канцы XVIII стагодзьдзя было даказана, што любое альгебраічнае раўнаньне з камплекснымі каэфіцыентамі мае хаця б адзін камплексны корань. Гэтае сьцьвярджэньне называецца асноўнай тэарэмай альгебры. На працягу двух з паловай стагодзьдзяў увага альгебраістаў была прыкаваная да задачы аб вывадзе формулы для рашэньня агульнага раўнаньня 5-й ступені. Трэба было выказаць рашэньне гэтага раўнаньня празь ягоныя каэфіцыенты з дапамогай арытмэтычных апэрацыяў і каранёў, то бок вырашыць раўнаньне ў радыкалах. Толькі ў XIX стагодзьдзі італьянец Паолё Руфіні й нарвэскі матэматык Нільс Абэль незалежна адзін ад аднаго даказалі, што такія формулы ня існуюць (гл. тэарэма Абэля-Руфіні). Гэтыя дасьледаваньні былі скончаны францускім матэматыкам Эварытсам Галюа, мэтады якога дазволілі для гэтага раўнаньня вызначыць, вырашаецца яно ў радыкалах ці не. Адзін з самых выбітных матэматыкаў у гісторыі Карл Фрыдрых Гаўс высьвятліў, калі можна пабудаваць цыркулем і лінейкай правільны n-кутнік: дадзеная задача была наўпрост зьвязана з вывучэньнем каранёў раўнаньня xn = 1 . Высьветлілася, што яна адрозная толькі тады, калі лік n ёсьць простым лікам Фэрма альбо здабыткам некалькіх розных простых лікаў Фэрма. Тым самым малады студэнт, а Гаўсу на той час было ўсяго дзевятнаццаць гадоў, вырашыў задачу, якой беспасьпяхова займаліся навукоўцы больш за два тысячагодзьдзі.

Вонкавыя спасылкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Commons-logo.svg  Альгебрасховішча мультымэдыйных матэрыялаў