Ёган Кеплер

Зьвесткі зь Вікіпэдыі — вольнай энцыкляпэдыі
Перайсьці да: навігацыі, пошуку
Ёган Кеплер
Johannes Kepler
Johannes Kepler 1610.jpg
Кеплер у 1610 годзе
Нарадзіўся 27 сьнежня 1571
Вайль-дэр-Штат, Сьвяшчэнная Рымская імпэрыя
Памёр 15 кастрычніка 1630
Рэгенсбург, Сьвяшчэнная Рымская імпэрыя
Навуковая сфэра астраномія, матэматыка, фізыка
Альма-матэр Тубінгенскі ўнівэрсытэт
Вядомы як аўтар законаў руху плянэтаў

Ёган Кеплер (па-нямецку: Johannes Kepler, па-лацінску: Ioannes Keplerus; 27 сьнежня 1571, Вайль-дэр-Штат — 15 лістапада 1630, Рэгенсбург) — нямецкі матэматык, астраном і оптык. Адкрыў законы руху плянэтаў. Адкрыцьці Кеплера паслужылі Ісаку Ньютану асновай для стварэньня тэорыі гравітацыі. Аўтар матэматычных працаў, у якіх утрымліваліся першыя элемэнты інтэгральнага зьлічэньня.

Біяграфія[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Раньнія гады[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Ёган нарадзіўся ў імпэрскім горадзе Вайль-дэр-Штаце, каля Штутгарта, сёньненшяй фэдэральнай зямлі Бадэн-Вюртэмбэрг. Ягоны бацька служыў наймітам у Гішпанскіх Нідэрляндах. Калі юнаку было 18 гадоў, бацька адправіўся ў чарговы паход і зьнік назаўсёды. Маці Кеплера, Катарына Кеплер, ўтрымоўвала карчму, падзарабляла варажбой і травалячэньнем[1].

Цікавасьць да астраноміі зьявалася ў Кеплера яшчэ ў дзіцячыя гады, калі ягоная маці паказала ўразьліваму хлопчыку яскравую камэту (1577), а пазьней — месячнае зацьменьне (1580). У 1589 годзе Кеплер скончыў школу пры манастыры Маўльброн, выявіўшы выбітныя здольнасьці[2]. Гарадзкія ўлады прызначылі яму стыпэндыю для дапамогі ў далейшым навучаньні.

У 1591 годзе ён паступіў ува ўнівэрсытэт у Тубінгене — спачатку на факультэт мастацтваў, да якіх тады прылічвалі й матэматыку з астраноміяй. Праз нейкі час Ёган перайшоў на тэалягічны факультэт, дзе ўпершыню пачуў пра ідэі Мікалая Капэрніка аб геліяцэнтрычнай сыстэме сьвету й адразу ж стаў ягоным прыхільнікам[3].

Першапачаткова Кеплер плянаваў стаць пратэстанцкім сьвятаром, але дзякуючы выдатным матэматычным здольнасьцям быў запрошаны ў 1594 годзе чытаць лекцыі па матэматыцы ўва ўнівэрсытэт горада Грац, які зараз знаходзіцца ў Аўстрыі.

«Кубак Кеплера»: мадэль Сонечнай сыстэмы зь пяці плятонавых целаў

У Грацы Кеплер правёў шэсьць гадоў. Тут у 1596 годзе выйшла ягоная першая кніга «Таямніца сьвету» (Mysterium Cosmographicum). У ёй Кеплер паспрабаваў знайсьці таемную гармонію Сусьвету, дзеля чаго супаставіў да арбітаў пяці вядомых тады плянэтаў (сфэру Зямлі ён вылучаў асабліва) розныя «Плятонавы целы» (правільныя шматграньнікі). Арбіту Сатурна ён прадставіў як кола на паверхні шара, апісанага вакол куба. У куб у сваю чаргу быў упісаны шар, які павінен быў прадстаўляць арбіту Юпітэра. У гэты шар быў упісаны тэтраэдр, апісаны вакол шара, які прадстаўляў арбіту Марса й г. д. Гэтая праца пасьля далейшых адкрыцьцяў Кеплера страціла сваё першапачатковае значэньне, хоць бы таму, што арбіты плянэтаў апынуліся не кругавымі, тым ня менш у наяўнасьць схаванай матэматычнай гармоніі Сусьвету Кеплер верыў да канца жыцьця. у 1621 годзе ён перавыдаў «Таямніцу сьвету», занясучыўшы ў яе шматлікія зьмяненьні й дапаўненьні[4].

Кнігу «Таямніца сьвету» Кеплер паслаў Галілею й Тыха Брагэ. Галілей адобрыў геліяцэнтрычны падыход Кеплера, але містычную нумэралёгію не падтрымаў. У далейшым яны вялі ажыўленую перапіску, і гэтая акалічнасьць (зносіны з «герэтыком»-пратэстантам) на судзе над Галілеем была асабліва падкрэсьлена як абцяжваючая віну Галілея. Тыха Брагэ таксама адхіліў надуманыя пабудовы Кеплера, аднак высока ацаніў ягоныя веды, арыгінальнасьць думкі й запрасіў Кеплера да сябе.

У 1597 годзе Кеплер пашлюбаваўся з удавой Барбарай Мюлер фон Мулек. Іхныя першыя двое дзяцей памерлі ў маленстве, а жонка захварэла эпілепсіяй. У давяршэньне нягод, у каталіцкім Грацы пачынаюцца ганеньні на пратэстантаў. Кеплер занесены ў сьпіс гнаных «герэтыкоў» і вымушаны быў пакінуць горад. Ён прыняў запрашэньне Тыха Брагэ, які да гэтага часу пераехаў у Прагу й служыў пры двары імпэратара Рудольфа II астраномам і астролягам.

Прага[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Дом у Празе, дзе жыў Кеплер

У 1600 годзе Кеплер прыбыў у Прагу, дзе правёў дзесяць гадоў — самы плённы пэрыяд свайго жыцьця. Неўзабаве высьветлілася, што погляды Капэрніка й Кеплера на астраномію Тыха Брагэ падзяляў толькі збольшага. Каб захаваць геацэнтрызм, Брагэ прапанаваў кампрамісную мадэль: ўсе плянэты, акрамя Зямлі, круцяцца вакол Сонца, а Сонца круціцца вакол нерухомай Зямлі. Гэтая тэорыя атрымала вялікую вядомасьць і на працягу некалькіх дзесяцігодзьдзяў зьяўлялася асноўным канкурэнтам сыстэмы сьвету Капэрніка.

Помнік Кеплеру й Брагэ ў Празе

Пасьля сьмерці Брагэ ў 1601 годзе Кеплер стаў ягоным пераемнікам на пасадзе. Скарб імпэратара з-за бясконцых войнаў быў пастаянна пусты, таму дараваньне Кеплеру плацілі рэдка й няшмат. Ён вымушаны быў падзарабляць складаньнем гараскопаў. Кеплеру прыйшлося таксама весьці шматгадовую цяжбу з нашчадкамі Тыха Брагэ, якія спрабавалі адабраць у яго, сярод іншай маёмасьці нябожчыка, таксама й вынікі астранамічных назіраньняў. У рэшце рэшт ад іх Ёгану атрымалася адкупіцца[5]. У 1604 годзе Кеплер апублікаваў свае назіраньні за звышновай зоркай, званай цяпер ягоным імем.

Быўшы добрым назіральнікам, Тыха Брагэ за шмат гадоў склаў аб’ёмную працу па назіраньні плянэтаў і сотняў зорак, прычым дакладнасьць ягоных вымярэньняў была істотна вышэйшай за ягоных папярэднікаў. Дзеля падвышэньня дакладнасьці Брагэ ўжываў як тэхнічныя ўдасканаленьні, так і спэцыяльную мэтодыку нэўтралізацыі хібнасьцяў назіраньня. Асабліва каштоўнай была сыстэматычнасьць вымярэньняў.

На працягу некалькіх гадоў Кеплер ўважліва вывучаў дадзеныя Брагэ й у выніку дбайнага аналізу прыйшоў да высновы, што траекторыя руху Марса ўяўляе сабой не круг, а эліпс, у адным з фокусаў якога знаходзіцца Сонца — становішча, вядомае сёньня як першы закон Кеплера. Далейшы аналіз прывёў да другога закона: радыюс-вэктар, які злучае плянэту й Сонца, у роўны час апісвае роўныя плошчы. Гэта азначала, што чым далей плянэта знаходзіцца ад Сонца, тым павольней яна рухаецца.

Абодва законы былі сфармуляваны Кеплерам у 1609 годзе ў кніжцы «Новая астраномія», прычым, дзеля асьцярожнасьці, ён адносіў іх толькі да Марса. Новая мадэль руху выклікала вялікую цікавасьць сярод пасьлядоўнікаў Капэрніка, але не ўсе яны яе прынялі. Галілей кеплеравы эліпсы рашуча адкінуў[6]. У 1610 годзе Галілей паведаміў Кеплеру аб адкрыцьці спадарожнікаў Юпітэра. Кеплер сустрэў гэтае паведамленьне зь недаверам і ў палемічнай працы «Гутарка з Зорным весьнікам» прывёў некалькі гумарыстычных пярэчаньняў, як то: «незразумела, дзеля чаго быць [спадарожнікам], калі на гэтай плянэце няма нікога, хто б мог любавацца гэтым відовішчам»[7]. Але пазьней, атрымаўшы свой асобнік тэлескопа, Кеплер зьмяніў сваё меркаваньне, пацьвердзіў назіраньне спадарожнікаў і сам заняўся тэорыяй лінзаў. Вынікам ягонай працы сталі удасканалены тэлескоп і фундамэнтальная праца «Дыёптрыка».

У Празе ў Кеплера нарадзіліся два сына й дачка. У 1611 годзе старэйшы сын Фрыдрых памёр ад воспы. У гэты ж час псыхічнахворы імпэратар Рудольф II, атрымаўшы паразу ў вайне з уласным братам Матыясам, зракаецца на ягоную карысьць ад чэскай кароны й неўзабаве памірае. Пасьля гэтага Кеплер пачаў зборы для пераезду ў Лінц, але яшчэ ў Празе пасьля доўгай хваробы памерла ягоная жонка Барбара.

Апошнія гады[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Партрэт Кеплера, 1627 год
Помнік Кеплеру ў Лінцы

У 1612 годзе Ёган Кеплер, сабраўшы няшматлікія пажыткі, пераязджае ў Лінц, дзе пражыў чатырнаццаць гадоў. За ім захавалася пасада прыдворнага матэматыка й астранома, але ў справе аплаты новы імпэратар быў нічым не лепей за старога. Некаторы прыбытак прыносілі Ёгану выкладаньне матэматыкі й гараскопы. У 1613 годзе Кеплер пашлюбаваўся з 24-гадовай дачкой столяра Сюзане. У іх нарадзілася сямёра дзяцей, зь якіх выжылі толькі чацьвёра.

У 1615 годзе Кеплер атрымаў вестку, што ягоная маці была абвінавачаная ў вядзьмарстве. Абвінавачваньне было сур’ёзным, на прошлую зіму у Леонбэрге, дзе жыла ягоная маці, былі па тым жа артыкуле спалены шэсьць жанчын. Абвінавачваньне ўтрымлівала 49 пунктаў: ​​сувязь з д'ябалам, блюзьнерства, псаваньне, нэкрамантыя й іншыя. Кеплер напісаў прашэньне гарадзкім уладам і ягоную маці спачатку адпусьцілі, але потым зноў арыштавалі. Сьледзтва цягнулася пяць гадоў. Нарэшце, у 1620 годзе пачаўся суд. Кеплер сам выступіў абаронцам, і праз год скурчаную жанчыну вызвалілі, але на наступны год яна памерла.

Тым часам Кеплер працягваў астранамічныя дасьледаваньні й ў 1618 годзе выяўляе трэці закон: стаўленьне куба сярэдняга выдаленьня плянэты ад Сонца да квадрата пэрыяду звароту яе вакол Сонца ёсьць велічыня сталая для ўсіх плянэт: a³/T² = const. Гэты вынік Кеплер апублікаваў у завяршальнай кнізе «Гармонія сьвету», прычым прымяняючы яго ўжо ня толькі да Марса, але й да ўсіх іншых плянэтаў, уключаючы, натуральна, і Зямлю, а таксама да галілеевых спадарожнікаў. Акрамя таго, у кнізе, разам з найкаштоўнейшымі навуковымі адкрыцьцямі, выкладзены таксама філязофскія развагі аб «музыцы сфэраў» і Плятонавых целах, якія складаюць на думку вучонага эстэтычную сутнасьць вышэйшага праекта сьветабудовы.

У 1626 годзе ў ходзе Трыццацігадовай вайны Лінц быў абложаны й неўзабаве захоплены. Пасьля гэтага ў горадзе пачаліся рабаваньні й пажары; у ліку іншых згарэла друкарня. Кеплер неўзабаве пераехаў у Ульм. У 1628 годзе Кеплер перайшоў на службу да Валенштайну. А праз два гады Ёган Кеплер адправіўся да імпэратара ў Рэгенсбург, каб атрымаць хоць бы часткова дараваньне. Па дарозе навукоўца моцна прастудзіўся й неўзабаве памёр.

Пасьля сьмерці Кеплера спадчыньнікам дасталося: паношанае адзеньне, 22 флёрына наяўнымі, 29000 флёрынаў нявыплачанага дараваньня, 27 апублікаваных рукапісаў і мноства неапублікаваных, якія пазьней былі выдадзены ў 22-томным зборніку. Са сьмерцю Кеплера ягоныя ліхтугі ня скончыліся. У канцы Трыццацігадовай вайны была цалкам разбураная ягоная могілка, дзе ён пахаваны, ад якой нічога не засталося. Частка архіва Кеплера зьнікла. У 1774 годзе большую частку архіва (18 тамоў з 22) па рэкамендацыі Леанарда Ойлера набыла Пецярбурская Акадэмія навук[8], зараз захоўваецца ў Санкт-Пецярбурскім філіяле архіва РАН[9].

Навуковая дзейнасьць[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Астраномія[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

У канцы XVI стагодзьдзя ў астраноміі яшчэ адбывалася барацьба паміж геацэнтрычнай сыстэмай Пталемэя й геліяцэнтрычнай сыстэмай Капэрніка. Праціўнікі сыстэмы Капэрніка спасылаліся на тое, што ў дачыненьні да хібнасьці разьлікаў яна нічым ня лепш пталемэеўскай. Дарэчы, у мадэлі Капэрніка плянэты раўнамерна рухаюцца па кругавых арбітах: каб узгадніць гэтую здагадку з бачнай нераўнамернасьцю руху плянэт, Капэрніку прыйшлося ўвесьці дадатковыя рухі па эпіцыклам. Нягледзячы на тое, што эпіцыкляў у Капэрніка было менш, чым у Пталемэя, ягоныя астранамічныя табліцы, першапачаткова больш дакладныя, чым пталемэевы, неўзабаве істотна разышліся з назіраньнямі, што нямала зьбянтэжыла й астудзіла захопленых копэрніканцаў.

Другі закон Кеплера: замаляваныя плошчы роўныя й праходзяцца за аднолькавы час

Адкрытыя Кеплерам тры закона руху плянэт поўнасьцю й з найвышэйшай дакладнасьцю патлумачылі бачную нераўнамернасьць гэтых рухаў. Замест шматлікіх надуманых эпіцыкляў мадэль Кеплера ўключае толькі адну крывую — эліпс. Другі закон устанавіў, як зьмяняецца хуткасьць плянэты пры выдаленьні альбо набліжэньні да Сонца, а трэці дазваляе разьлічыць гэтую хуткасьць і пэрыяд звароту вакол Сонца.

Хоць гістарычна Кеплераўская сыстэма сьвету заснавана на мадэлі Капэрніка, фактычна ў іх вельмі мала агульнага (толькі суткавае кручэньне Зямлі). Зьніклі кругавыя рухі сфэраў, якія нясуць на сабе плянэты, зьявіўся панятак плянэтавай арбіты. У сыстэме Капэрніка Зямля ўсё яшчэ займала асаблівае становішча, паколькі толькі ў яе ня было эпіцыкляў. У Кеплера Зямля ёсьць шэрагавая плянэта, рух якой падпарадкаваны агульным тром законам. Усе арбіты нябесных целаў — эліпсы (рух па гіпэрбалічнай траекторыі адкрыў пазьней Ньютан), агульным фокусам арбітаў зьяўляецца Сонца.

Кеплер вывеў таксама «раўнаньне Кеплера», якое выкарыстоўваецца ў астраноміі для вызначэньня становішча нябесных целаў. Законы плянэтнай кінэматыкі, адкрытыя Кеплерам, паслужылі пазьней для Ньютана асновай для стварэньня тэорыі прыцягненьня. Ньютан матэматычна даказаў, што ўсё законы Кеплера вынікаюць з закона прыцягненьня.

Погляды Кеплера на арганізацыю Сусьвету за межамі Сонечнай сыстэмы выцякалі зь ягонай містычнай філязофіі. Сонца ён меркаваў нерухомым, а сфэру зорак лічыў мяжой сьвету. У бясконцасьць Сусьвету Кеплер ня верыў і ў якасьці аргумэнту прапанаваў у 1610 годзе тое, што пазьней атрымала назоў фотамэтрычны парадокс: калі лік зорак бясконцы, то ў любым кірунку погляд натыкнуўся б на зорку, і на небе не існавала б цёмных участкаў.

Строга кажучы, сыстэма сьвету Кеплера прэтэндавала ня толькі на выяўленьне законаў руху плянэт, але й на значна большае. Аналягічна пітагарэйцам, Кеплер лічыў сьвет рэалізацыяй некаторай лікавай гармоніі, адначасова геамэтрычнай і музычнай; раскрыцьцё структуры гэтай гармоніі дало б адказы на самыя глыбокія пытаньні:

Я высьветліў, што ўсе нябесныя рухі, як у цэлым, так і ўва ўсіх асобных выпадках, прасякнутыя агульнай гармоніяй — аднак, ня той, якую я меркаваў, але яшчэ больш дасканалай.

Франтысьпіс «Рудольфавых табліцаў»

Напрыклад, Кеплер тлумачыць, чаму плянэтаў менавіта шэсьць (да таго часу былі вядомыя толькі шэсьць плянэт Сонечнай сыстэмы) і яны разьмешчаны ў прасторы так, а не як-небудзь інакш: аказваецца, арбіты плянэтаў упісаны ў правільныя шматграньнікі. Цікава, што зыходзячы з гэтых ненавуковых меркаваньняў, Кеплер прадказаў існаваньне двух спадарожнікаў Марса й прамежкавай плянэты паміж Марсам і Юпітэрам.

Законы Кеплера злучалі ў сабе яснасьць, прастату й вылічальную моц, хоць містычная форма ягонай сыстэмы сьвету грунтоўна засьмечвала рэальную сутнасьць вялікіх адкрыцьцяў Кеплера. Тым ня менш ужо сучасьнікі Кеплера пераканаліся ў дакладнасьці новых законаў, аднак іх глыбінны сэнс да Ньютана заставаўся незразумелым. Ніякіх спроб рэанімаваць мадэль Пталемэя або прапанаваць іншую сыстэму руху, акрамя геліяцэнтрычнай, больш не рабілася.

Ёган Кеплер нямала зрабіў для прыняцьця пратэстантамі грыгарыянскага календара (на сойме ў Рэгенсбурге, 1613, і ў Аахэне, 1615). Кеплер стаў аўтарам першага шырокага (у трох тамах) выкладу капэрнікавай астраноміі (Epitome astronomia Copernicanae, 16171622), які неадкладна патрапіў у «Індэкс забароненых кнігаў» . У гэтую кнігу, сваю галоўную працу, Кеплер уключыў апісаньне ўсіх сваіх адкрыцьцяў у астраноміі.

Улетку 1627 году Кеплер пасьля 22 гадоў працы апублікаваў (за свой кошт [10]) астранамічныя табліцы, якія ў гонар былога імпэратара назваў «Рудольфавымі». Попыт на іх быў вялікі, бо ўсе ранейшыя табліцы даўно разышліся з назіраньнямі. Немалаважна, што праца ўпершыню уключала зручныя для разьліку табліцы лягарытмаў. Кеплеравы табліцы служылі астраномам і маракам аж да пачатку XIX стагодзьдзя. Праз год пасьля сьмерці Кеплера П’ер Гасэндзі назіраў прадказанае ім праходжаньне Мэркурыя па дыску Сонца[11]. У 1665 годзе італьянскі фізык і астраном Джавані Альфонса Барэльлі апублікаваў кнігу, дзе законы Кеплера прымяняюцца да адкрытых Галілеем спадарожнікаў Юпітэра.

Матэматыка[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Кеплер знайшоў спосаб вызначэньня аб’ёмаў разнастайных целаў кручэньня, які апісаў у кнізе «Новая стэрэамэтрыя вінных бочак» (1615). Прапанаваны ім мэтад утрымліваў першыя элемэнты інтэгральнага вылічэньня[12]. Пазьней Кавальеры выкарыстаў той жа падыход дзеля распрацоўкі выключна плённага «мэтаду непадзельных». Завяршэньнем гэтага працэсу стала адкрыцьцё матэматычнага аналізу.

Акрамя таго, Кеплер вельмі падрабязна прааналізаваў сымэтрыю сьняжынак. Дасьледаваньні па сымэтрыі прывялі яго да здагадак аб шчыльнай упакоўцы шароў, паводле якіх найбольшая шчыльнасьць пакаваньня дасягаецца пры пірамідальным парадкаваньні шароў адно над адным[13]. Матэматычна даказаць гэты факт не атрымоўвалася на працягу 400 гадоў — першае паведамленьне аб доказе «задачы Кеплера» зьявілася толькі ў 1998 годзе ў працы матэматыка Томаса Гэйлза. Піянэрскія працы Кеплера ў галіне сымэтрыі знайшлі пазьней прымяненьне ў крышталаграфіі й тэорыі кадаваньня.

У ходзе астранамічных дасьледаваньняў Кеплер зрабіў унёсак у тэорыю канічных сечываў. Ён склаў адну зь першых табліц лягарытмаў[14]. У Кеплера ўпершыню сустракаецца тэрмін «сярэдняе арытмэтычнае».

Кеплер увайшоў і ў гісторыю праектавай геамэтрыі: ён упершыню ўвёў найважнейшы панятак бясконца выдаленай кропкі[15]. Ён жа ўвёў панятак фокусу канічнага сечыва й разгледзеў праектавыя пераўтварэньні канічных перасекаў, у тым ліку якія зьмяняюць іхны тып — напрыклад, якое пераўтварае эліпс у гіпэрбалу.

Крыніцы[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

  1. ^ Лишевский В. П. «Кеплер и его законы движения планет». Земля и Вселенная, № 1 (1994), с. 63-69
  2. ^ Max Caspar. «Kepler». New York: Dover, 1993. ISBN 0-486-67605-6, pp 29-36.
  3. ^ Robert S. Westman. «Kepler’s Early Physico-Astrological Problematic». Journal for the History of Astronomy, 32 (2001): pp 27-36.
  4. ^ Field, J. V. «Kepler’s geometrical cosmology». Chicago: Chicago University Press, 1988, ISBN 0-226-24823-2, Chapter IV.
  5. ^ Max Caspar. «Kepler». New York: Dover, 1993. ISBN 0-486-67605-6, pp 111—122.
  6. ^ 'Max Caspar. «Kepler». New York: Dover, 1993. ISBN 0-486-67605-6, pp 192—197.
  7. ^ Д. Антисери и Дж. Реале. «Западная философия от истоков до наших дней. От Возрождения до Канта». СПб, Пневма, 2002, стр. 195
  8. ^ Копелевич Ю. Х. «К истории приобретения Россией рукописей Кеплера». Историко-астрономические исследования. Вып. XI. 1972. С.131-145.
  9. ^ Санкт-Пецярбурскі філіял архіва Расейскай акадэміі навук
  10. ^ Max Caspar. «Kepler». New York: Dover, 1993. ISBN 0-486-67605-6, pp 308—328.
  11. ^ «The Importance of the Transit of Mercury of 1631» Journal for the History of Astronomy, 7 (1976): 1-10.
  12. ^ «История математики». Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — с. 166—171.
  13. ^ Schneer, Cecil. Kepler’s New Year’s Gift of a Snowflake. Isis, Volume 51, No. 4. University of Chicago Press, 1960, pp 531—545.
  14. ^ «История математики». Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — с. 63.
  15. ^ «История математики». Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — с. 117—121.

Вонкавыя спасылкі[рэдагаваць | рэдагаваць крыніцу]

Commons-logo.svg  Ёган Кеплерсховішча мультымэдыйных матэрыялаў